如何因式分解多项式

什么是多项式因式分解？它是一种数学技术，可让您将多项式分解为更简单的因子或表达式。由于这种简化，我们将能够更轻松、更舒适地在多个代数表达式之间执行运算。因此，在整篇文章中，我们将讨论多项式因式分解的不同方法以及因式分解的所有可能情况。

如何因式分解多项式？

有许多分解方法都有自己的解决方案结构，但最终依赖于相同的东西。此外，您还可以找到有关多项式配置的各种案例。这就是为什么在下面的部分中我们将讨论所有现有的过程以及何时使用它们。最后，我们将把它应用到一个真实的例子中，以便你完成概念的掌握。

用鲁菲尼规则分解多项式

多项式因式分解最常用的方法是鲁菲尼法则，因为它易于使用并且可以快速找到结果。正常的情况是使用此技术对大于二阶的多项式进行因式分解，有时甚至对二阶多项式进行因式分解。因为它允许您以图形方式获得该多项式的根。尽管这种用法将在下一节中解释，但重点是这种类型的数学表达式的根源。

如何进行 Ruffini 多项式因式分解？

基本上，我们必须将被除数的系数写在水平线上，并将多项式的可能根的值写在一边。我们说可能，因为我们必须寻找一个除数，使我们能够获得等于零的余数。否则，这个数字将不是有效的根，您将不得不继续尝试。

作为提示，我们建议您仅尝试独立项的除数（水平线的最后一个值）。因此，要知道您选择的数字是否正确，您只需按照以下顺序进行计算：

您减少系数，将其乘以您正在测试的根，将其写在下一个系数下方，然后进行垂直加法。您只需重复这些步骤直到最后，完成后您就会知道该值是否正确。因为只有余数为零的数字才有效。

如果您不太清楚需要遵循的数学过程，您可以查看本文左侧栏中的示例。此外，我们建议尝试分解以下多项式： x3 + 2×2 – x – 2 （基于示例）。最后，要知道您是否正确解决了练习，您可以将您的结果与此结果进行比较：

过量表达 = x² + 3x + 2
余数 = 0

下面我们就Ruffini在因式分解中的应用做一个简单的说明。不过，如果您想了解如何详细使用此数学资源，我们建议您访问我们链接的最后一篇文章，因为那里对所有内容都有很好的解释。也就是说，让我们首先解释如何用鲁菲尼规则对多项式进行因式分解：

我们绘制网格：如上图所示，我们将创建一个盒子，在其中制作 Ruffini。基本上，您必须编写水平排序的表达式的系数，并且不保留那些具有零值的系数。最后，您应该得到与图像中类似的表示形式，但具有多项式的值。
我们计算根：一旦我们画出了结构并确保所有数字都正确书写，我们将继续计算根。您需要按照我们在此列表上方讨论的计算顺序（带有图片）来找到根。
我们以 (x – a) 的形式表示根：当我们有了多项式的所有根时，我们必须以 (x – a) 的形式表示它们。考虑到a是我们得到的值，例如如果我们提取结果x = 2、x = -2和x = 4，那么我们将得到(x – 2)、(x + 2)和( x – 4)。
我们将所有因子收集在一个表达式中：最后，当我们已经有了以正确格式表示的所有根时，我们只需将它们收集在一个代数表达式中即可。继续前面的例子，我们会得到这样的结果：(x – 2) · (x + 2) · (x – 4)。

使用多项式的根对多项式进行因式分解

我们在鲁菲尼的章节中已经解释了一半多项式的根概念。但是，确切的定义是：多项式 P(x) 的根是数值 a，因此P(a) = 0 。因此，它是一个能够消除所讨论的函数或多项式的数字。总之，我们可以说它用于将多项式分解为因子的乘积。

例如，如果我们给出以下表达式 x² − x − 2 并使用鲁菲尼法则或简单地求解二次方程 x² − x − 2 = 0 对其进行因式分解。我们将获得两个 x 值 = -1 和x = 2，所以如果我们将它们改为 (x – a) 的格式并将它们放在一起，我们将得到以下表达式： (x + 1) (x − 2)，即分解多项式。我们可以将其应用于次数大于二的多项式，尽管该表达式由多个项组成。

通过公因子提取对多项式进行因式分解

当我们想要对没有独立项的多项式或所有项都有公因子的表达式进行因式分解时，我们可以使用这种技术来简化多项式。它基本上涉及将分配律应用于整个表达式，删除重复的公因子并通过乘以整个多项式来将其相加。下面您将找到我们讨论的第一种情况的示例（没有独立项的多项式）：

2×3 + 10×2 – 6x = 2x (x2 + 5x – 3)

公因子的双重提取

公因子提取甚至可以通过提取更复杂的因素（包括多个变量）来完成。您甚至可以提取从主表达式本身派生的多项式。当您想要执行此类操作时，重要的是不要设置限制，因为因子提取的目标是尽可能简化代数表达式。

使用显着恒等式对多项式进行因式分解

著名的产品可以帮助我们分解多项式表达式，因为它们是简化的代数表达式。因此，它们帮助我们直接从一个长多项式转化为一个由几个项组成的小公式。因此，强烈建议学习显着恒等式的公式，以便能够快速识别何时可以使用它们。因此，我们可以节省使用 Ruffini 或任何其他方法进行因式分解的时间。接下来，我们将介绍您需要学习的三个规则：

平方差： a² – b² = (a + b) · (a – b)
总和的平方： a² + 2ab + b² = (a + b)²
减法平方： a² – 2ab + b² = (a – b)²

通过分组对多项式进行因式分解

在某些情况下，我们可以找到结构为 x² – ax – bx + ab的多项式，可以通过删除公因子来简化该多项式：x (x – a) – b (x – a)。如果我们再取公因数，则可以进一步简化：(x – a)·(x – b)。因此，该多项式的根为 x = a 和 x = b。正如您所看到的，这种类型的代数表达式具有非常易于分解和使用的结构。

多项式因式分解练习

最后，我们想为您提供一系列练习，以便您可以练习因式分解多项式。这样你就能够更好地内化我们今天解释的理论。简而言之，您必须解决笔记本中的练习，然后将结果与我们在下面为您提供的结果进行比较。

x ⁴ -1 = (x ² + 1) (x + 1) (x – 1)
x ⁵ + x ⁴ – x – 1 = (x – 1) (x + 1) ² (x ² + 1)
^9×2 + 30x + 25 = (3x + 5) ²
x ⁴ – 3x ³ – 3x ² + 11x – 6 = (x + 2) (x – 3) (x – 1) ²