重合线 - Mathority

在这里，您将找到有关重合线的所有信息：它们的含义、如何确定两条线是否重合、它们的属性等。此外，您将能够看到重合线的示例和已解决的练习。

什么是两条重合线？

两条重合线是具有所有公共点的两条线。因此，两条重合线是完全相同的。

例如，下面绘制了两条重合线，但您只能看到一条，因为它们重叠（它们相等）。

两条重合线始终具有相同的方向，因此在几何上它们形成 0° 的角度。

另一方面，请记住，在平面中，两条线之间的相对位置概念有 4 种可能性：两条线可以重合、平行、割线和垂直。如果需要，您可以在这 3 个链接中查看每种线型的含义以及它们之间的区别。

你怎么知道两条线是否重合？

知道两条线何时重合取决于您是使用两个坐标（在 R2 中）还是使用三个坐标（在 R3 中）。

确定平面内两条重合线

当我们在二维 (2D) 空间中操作时，很容易看出两条直线何时重合以及何时它们不是由直线的隐式方程或显式方程产生。

除了这两种方法之外，我们还可以通过求解两条直线方程组成的方程组来检查两条直线是否重合（如果该方程组给出无限个解，则意味着它们重合）。但这个过程比较复杂且耗时，因此我们不会详细解释它，因为最好从隐式方程或显式方程的系数来进行。

从直线的隐式（或一般）方程

判断两条直线是否重合的一种方法是使用直线的隐式方程，也称为一般方程或笛卡尔方程。

该直线的隐式方程对应于以下表达式：

$Ax+By+C=0$

好吧，如果两条线具有三个比例系数（A、B 和 C） ，则意味着它们重合。

$r: \ Ax+By+C=0 \qquad \qquad s: \ A'x+B'y+C'=0$

$\cfrac{A}{A'} = \cfrac{B}{B'}= \cfrac{C}{C'} \quad \longrightarrow \quad \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

例如，以下两行匹配：

$r: \ 4x+6y-2=0 \qquad \qquad s: \ 2x+3y-1=0$

它们重合是因为参数 A、B 和 C 彼此成比例：

$\cfrac{4}{2} = \cfrac{6}{3}= \cfrac{-2}{-1}= 2$

从直线的显式方程

确定两条直线是否真正重合的另一种方法是使用直线的显式方程。回想一下，该直线的显式方程如下：

$y=mx+n$

如果两条线具有相同的斜率（系数 m）和原点处相同的纵坐标（系数 n），则它们是两条线的组合。

$r: \ y=m_rx+n_r \qquad \qquad s: \ y=m_sx+n_s$

$\left.\begin{array}{c} m_r = m_s \\[2ex] n_r=n_s \end{array} \right\} \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

例如，以下两条线是相同的，因为它们最初具有相同的斜率和坐标：

$r: \ y=3x-1 \qquad \qquad s: \ y=3x-1$

应该注意的是，如果它们具有相同的斜率但在原点处的顺序不同，那么它们将是平行的而不是重合的线。

最后，正如您在示例中看到的，两条重合线具有相同的显式方程。这适用于任何类型的直线方程：如果两条直线在方程中重合，则意味着它们重合。

在空间中找到两条重合线

在空间（R3）中识别两条重合线与在笛卡尔平面（R2）中识别两条重合线不同，因为计算必须多一个坐标。那么，让我们看看它是如何完成的：

给定空间中两条不同直线的方程：

$\displaystyle r: \ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\[2ex]A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} A_1'x+B_1'y+C_1'z+D_1'=0 \\[2ex]A_2'x+B_2'y+C_2'z+D_2'=0 \end{cases}$

令 M 和 M’ 为由各行系数形成的矩阵：

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1\\[1.1ex]A_2&B_2&C_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2' \end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1&D_1 \\[1.1ex]A_2&B_2&C_2&D_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'&D_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2'&D_2' \end{pmatrix}$

那么，如果矩阵 M 和 M’ 的秩等于 2，则两条线重合。

$rg(M)=rg(M') = 2 \ \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

让我们通过逐步解决的练习来看一个空间重合线的示例：

判断以下两行是否匹配：

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x+2y+z+3=0 \\[2ex]3x+4y+z+8=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} x-z+2=0 \\[2ex]2y+2z+1=0 \end{cases}$

各行系数的矩阵M和扩展矩阵M’为：

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} 1&2&1 \\[1.1ex]3&4&1 \\[1.1ex]1&0&-1\\[1.1ex]0&2&2\end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} 1&2&1&3 \\[1.1ex]3&4&1&8 \\[1.1ex]1&0&-1&2\\[1.1ex]0&2&2&1\end{pmatrix}$

一旦我们构建了两个矩阵，我们需要计算每个矩阵的范围：

$rg(M)=2 \qquad \qquad rg(M') = 2$

两个矩阵的秩相等，而且它们的值为 2。因此，两条线是混淆的。

$rg(M)=rg(M') = 2 \ \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

重合线的性质

重合线具有以下特点：

两条重合线的方向矢量（指示线方向的矢量）成比例，因此线性相关。平行线也有这个性质。

同样，两条重合线的方向矢量具有相同的方向。

两条重合线在图形上用同一条线表示。

从这个意义上说，两条重合线都有共同点。因此，与轴的交点是相同的。

显然，两条重合线是共面的，也就是说它们包含在同一平面内。