如何计算逆矩阵 -

在本页中，您将了解它是什么以及如何通过行列式（或伴随矩阵）方法和高斯方法计算矩阵的逆。您还将看到逆矩阵的所有属性，并且还将找到每种方法的逐步求解示例和练习，以便您完全理解它们。最后，我们解释了一个快速求逆 2×2 矩阵的公式，甚至解释了该矩阵运算的最大用途：求解线性方程组。

什么是矩阵的逆矩阵？

是

$A$

方阵。的逆矩阵

$A$

写着

$A^{-1}$

，这个矩阵满足：

$A \cdot A^{-1} = I$

$A^{-1}\cdot A = I$

金子

$I$

是单位矩阵。

什么时候可以对矩阵求逆，什么时候不能？

确定矩阵可逆性的最简单方法是使用其行列式：

如果所讨论的矩阵的行列式不为0，则意味着该矩阵是可逆的。在这种情况下，我们说它是一个正则矩阵。此外，这意味着该矩阵具有最大秩。

另一方面，如果矩阵的行列式等于0，则矩阵无法求逆。并且，在这种情况下，我们说它是奇异矩阵或简并矩阵。

主要有两种求逆矩阵的方法：行列式或伴随矩阵方法和高斯方法。下面是第一个的解释，但您也可以参考下面如何使用高斯方法求逆矩阵。

使用行列式方法（或使用邻接矩阵）对矩阵求逆

要计算矩阵的逆，

$\displaystyle A^{-1}$

，必须应用以下公式：

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

金子：

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$

是矩阵的行列式

$A$
$\text{Adj}(A)$

是的伴随矩阵

$A$
参展商
$\bm{t}$

表示矩阵转置，即附加矩阵应该转置。

点评：有些书使用了稍微不同的逆矩阵公式：他们首先转置矩阵A，然后计算其伴随矩阵，而不是先计算伴随矩阵然后转置它。实际上，顺序并不重要，因为结果完全相同。在这里，我们为您留下了对修改后的矩阵求逆的公式，以防您更喜欢使用这个公式：

然后我们将通过解决一个练习为例来了解如何找到矩阵的逆：

使用行列式方法（或伴随矩阵）计算逆矩阵的示例：

计算以下矩阵的逆矩阵：

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{pmatrix}$

为了确定矩阵的逆，我们必须应用以下公式：

但如果矩阵的行列式为零，则意味着该矩阵不可逆。因此，首先要做的是计算矩阵的行列式并检查它是否不等于 0：

$\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{vmatrix} = -4- (-6) = 2$

行列式不为0 ，因此矩阵可逆。

因此，将行列式的值代入公式，则矩阵的逆为：

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

我们现在必须计算 A 的副矩阵。为此，我们必须用其副矩阵替换矩阵 A 的每个元素。

请记住，要计算附件

$a_{ij}$

，也就是说行元素

$i$

和专栏

$j$

，必须应用以下公式：

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

其中补余小数为

$a_{ij}$

是消除行的矩阵的行列式

$i$

和专栏

$j$

。

因此，矩阵 A 的元素代表为：

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de 4} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) = \bm{-1}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

注释：不要将行列式 1×1 与绝对值混淆，因为在行列式 1×1 中，数字不会转换为正数。

计算出代表人数后，只需将 A 的元素替换为其代表即可找到A 的代表矩阵：

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix}$

注释：在某些地方，伴随矩阵是我们这里定义的伴随矩阵的转置。

因此，我们将所附矩阵代入逆矩阵公式，则变为：

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix} ^{\bm{t}}$

参展商

$\bm{t}$

这告诉我们需要转置矩阵。要转置矩阵，必须将其行更改为列，也就是说，矩阵的第一行变为矩阵的第一列，第二行变为第二列：

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 \\[1.1ex] -3 & 4 \end{pmatrix}$

最后，我们将矩阵的每一项乘以

$\cfrac{1}{2} :$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \sfrac{-1}{2} & \sfrac{2}{2} \\[1.1ex] \sfrac{-3}{2} & \sfrac{4}{2} \end{pmatrix}$

用行列式（或邻接矩阵）方法解决逆矩阵的练习

练习1

使用伴随矩阵方法对以下 2×2 维矩阵求逆：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 7 \end{pmatrix}$

查看解决方案

逆矩阵公式为：

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

我们首先计算矩阵的行列式：

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 7 \end{vmatrix} = 7-6 = 1$

行列式不等于0，因此可以对矩阵求逆。

现在让我们计算 A 的伴随矩阵：

$\text{Adjunto de 1} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 7 \end{vmatrix} = 1 \cdot 7 = \bm{7}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2\end{vmatrix} = -1 \cdot 2 = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de 2} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 7} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = \bm{1}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 \end{pmatrix}$

一旦计算出矩阵的行列式及其伴随矩阵，我们将它们的值代入以下公式：

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} 7 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

我们转置附加矩阵：

$\displaystyle A^{-1} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 7 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 \end{pmatrix}$

因此 A 的逆矩阵为：

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \bm{7} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{-2} & \bm{1} \end{pmatrix}$

练习2

使用行列式方法对以下方阵求逆：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & 4 \end{pmatrix}$

查看解决方案

逆矩阵公式为：

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

我们首先计算矩阵的行列式：

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & 4\end{vmatrix} = -12+10 = -2$

行列式不等于0，因此可以对矩阵求逆。

现在让我们计算 A 的伴随矩阵：

$\text{Adjunto de -3} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 5\end{vmatrix} = -1 \cdot 5 = \bm{-5}$

$\text{Adjunto de 5} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de 4} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = \bm{-3}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\[1.1ex] 2 & -3 \end{pmatrix}$

一旦找到矩阵的行列式及其伴随矩阵，我们将它们的值代入公式：

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -5 \\[1.1ex] 2 & -3 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

我们转置附加矩阵：

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 2 \\[1.1ex] -5 & -3 \end{pmatrix}$

我们将每个元素乘以

$\cfrac{1}{-2} :$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \cfrac{4}{-2} & \cfrac{2}{-2} \\[3ex] \cfrac{-5}{-2} & \cfrac{-3}{-2} \end{pmatrix}$

因此 A 的逆矩阵为：

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \bm{-2} & \bm{-1} \\[2ex] \cfrac{\bm{5}}{\bm{2}} & \cfrac{\bm{3}}{\bm{2}} \end{pmatrix}$

练习3

使用伴随矩阵方法对以下 3×3 维矩阵求逆：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&3&-2\\[1.1ex] 1&4&1\\[1.1ex] 2&1&-3\end{pmatrix}$

查看解决方案

逆矩阵公式为：

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

我们首先用 Sarrus 规则求解矩阵的行列式：

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2&3&-2\\[1.1ex] 1&4&1\\[1.1ex] 2&1&-3 \end{vmatrix} = -24+6-2+16-2+9 = 3$

行列式不等于0，因此可以对矩阵求逆。

一旦求解了行列式，我们就可以找到 A 的伴随矩阵：

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4&1\\[1.1ex] 1&-3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-13) = \bm{-13}$

$\text{Adjunto de 3} = \displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix}1&1\\[1.1ex] 2&-3\end{vmatrix} = -1 \cdot (-5) = \bm{5}$

$\text{Adjunto de -2} = \displaystyle (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1&4\\[1.1ex] 2&1 \end{vmatrix} = 1\cdot (-7) = \bm{-7}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3&-2 \\[1.1ex] 1&-3 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-7) = \bm{7}$

$\text{Adjunto de 4} = \displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&-2\\[1.1ex] 2&-3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 2&1\end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3&-2\\[1.1ex] 4&1\end{vmatrix} = 1 \cdot 11 = \bm{11}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&-2\\[1.1ex] 1&1\end{vmatrix} = -1 \cdot 4 = \bm{-4}$

$\text{Adjunto de -3} = \displaystyle (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 1&4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 = \bm{5}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -13 & 5 & -7 \\[1.1ex] 7 & -2 & 4 \\[1.1ex] 11 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

一旦我们计算了矩阵的行列式及其伴随物，我们将它们的值代入以下公式：

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -13 & 5 & -7 \\[1.1ex] 7 & -2 & 4 \\[1.1ex] 11 & -4 & 5 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

我们转置附加矩阵：

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -13 & 7 & 11 \\[1.1ex] 5 & -2 & -4 \\[1.1ex] -7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

则逆矩阵A为：

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \sfrac{\bm{-13}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{7}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{11}}{\bm{3}} \\[1.1ex] \sfrac{\bm{5}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{-2}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{-4}}{\bm{3}} \\[1.1ex] \sfrac{\bm{-7}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{4}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{5}}{\bm{3}}\end{pmatrix}$

练习4

使用伴随矩阵方法对以下 3 阶矩阵求逆：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&5&-1\\[1.1ex] -1&3&2\\[1.1ex] 3&8&1\end{pmatrix}$

查看解决方案

逆矩阵公式为：

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

我们需要先计算矩阵的行列式，因为如果行列式为0，则意味着矩阵没有逆矩阵。

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 4&5&-1\\[1.1ex] -1&3&2\\[1.1ex] 3&8&1 \end{vmatrix} = 12+30+8+9-64+5 = \bm{0}$

A的行列式为0，因此矩阵不能求逆。

练习5

用行列式矩阵法对以下 3 × 3 方阵求逆：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 & 0 \\[1.1ex] -1 & -2 & 2\end{pmatrix}$

查看解决方案

逆矩阵公式为：

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

首先我们用 Sarrus 规则求解矩阵的行列式：

$\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 & 0 \\[1.1ex] -1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = 2+0-12-3-0+16 = 3$

行列式不等于0，因此可以对矩阵求逆。

一旦求解了行列式，我们就可以找到 A 的伴随矩阵：

$\displaystyle \text{Adjunto de 1} = (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] -2 & 2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} (2-0) = \bm{2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 4} = (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} (-4-0) = \bm{4}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -3} = (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(4-(-1)\bigr) = \bm{5}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -2} = (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} (8-6) = \bm{-2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 1} = (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} (2-3) = \bm{-1}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 0} = (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} \bigl(-2-(-4)\bigr) = \bm{-2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -1} = (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(0-(-3)\bigr) = \bm{3}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -2} = (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] -2 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0-6) = \bm{6}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 2} = (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\[1.1ex] -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(1-(-8)\bigr) = \bm{9}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 \\[1.1ex] -2 & -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$

一旦我们计算了矩阵的行列式及其伴随物，我们将它们的值代入以下公式：

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 \\[1.1ex] -2 & -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & 6 & 9\end{pmatrix}^{\bm{t}}$

我们转置附加矩阵：

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -2 & 3 \\[1.1ex] 4 & -1 & 6 \\[1.1ex] 5 & -2 & 9 \end{pmatrix}$

最后，我们操作：

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \sfrac{2}{3} & \sfrac{-2}{3} & \sfrac{3}{3} \\[1.1ex] \sfrac{4}{3} & \sfrac{-1}{3} & \sfrac{6}{3} \\[1.1ex] \sfrac{5}{3} & \sfrac{-2}{3} & \sfrac{9}{3} \end{pmatrix}$

使用高斯方法求逆矩阵：

要使用高斯方法计算矩阵的逆，必须对矩阵的行进行运算（我们稍后会看到）。因此，在了解如何使用高斯方法之前，了解可以对矩阵行执行的所有操作非常重要：

高斯方法中允许的线变换

更改矩阵的行顺序。

例如，我们可以更改矩阵第 2 行和第 3 行的顺序：

$\left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -2 \\[2ex] -2 & 4 & -1 \\[2ex] 6 & 1 & -3 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{ f_2 \rightarrow f_3}} \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 \rightarrow f_2}} \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -2 \\[2ex] 6 & 1 & -3 \\[2ex] -2 & 4 & -1 \end{array} \right)$

将一行中的所有项乘以或除以0 以外的数字。

例如，我们可以将第 1 行乘以 4，并将第 3 行除以 2：

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\[2ex] 3 & -1 & 5 \\[2ex] 2 & -4 & -2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{4 f_1} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 / 2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 4 & -8 & 12 \\[2ex] 3 & -1 & 5 \\[2ex] 1 & -2 & -1 \end{array} \right)$

将一行替换为同一行加上另一行乘以一个数字的总和。

例如，在以下矩阵中，我们将第 3 行乘以 1 添加到第 2 行：

$\left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 4 \\[2ex] 2 & 4 & 1 \\[2ex] 1 & -2 & 3 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 + 1\cdot f_3} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 4 \\[2ex] 3 & 2 & 4 \\[2ex] 1 & -2 & 3 \end{array} \right)$

使用高斯方法计算逆矩阵的示例：

让我们通过一个例子来看看如何应用高斯方法来求逆矩阵：

计算以下矩阵的逆矩阵：

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\[2ex] 0 & 2 & 1 \\[2ex] 1 & 5 & 4 \end{array} \right)$

我们需要做的第一件事是将A 矩阵和单位矩阵合并为一个矩阵。左边是A矩阵，右边是单位矩阵：

$\displaystyle \bigl( A \ \lvert \ I \bigr)$

为了计算逆矩阵，我们需要将左矩阵转换为单位矩阵。为此，我们需要对行进行转换，直到到达那里。

我们按列进行操作，也就是说我们对行进行操作，首先变换第一列的数字，然后变换第二列的数字，最后变换第三列的数字。

第一列中的 1 和 0 已经合适，因为单位矩阵在这些位置也有 1 和 0。因此，此时无需对这些行应用转换。

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} \color{blue}\boxed{\color{black}1} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

然而，单位矩阵第一列的最后一个元素为 0，而现在为 1。因此我们需要将 1 转换为 0。为此，我们将行 1 乘以 – 添加到行 3.1 中：

$\begin{array}{lrrr|rrr} & 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \\ + & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ \hline & 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_1} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

因此，如果我们进行求和，我们最终会得到以下矩阵：

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

这样我们就成功地将1变成了0。

现在让我们继续看左侧矩阵的第二列。第一个元素是 0，这很好，因为单位矩阵在同一位置有一个 0。然而，应该是 1，而不是 2，所以我们将第二行除以 2：

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2/2}\\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}1} & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

另外，在第二列中，我们还需要将 5 变成 0。因为 5 比第二行中的 1 大五倍，所以我们将第 2 行乘以 -5 添加到第 3 行：

$\begin{array}{lrrr|rrr} & 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \\ + & 0 & -5 & \sfrac{-5}{2} & 0 & \vphantom{\Bigl(}\sfrac{-5}{2} & 0 \\ \hline & 0 & 0 & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} \vphantom{\Bigl(} & 1 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -5f_2}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}$

因此，通过执行此操作，我们最终得到第二列最后一个元素为 0 的矩阵：

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - 5f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} & 1 \end{array} \right)$

最后，我们将矩阵的最后一列向左变换，但这一次我们必须从底部开始。因此有必要改造

$\sfrac{1}{2}$

变成 1。因此，我们将最后一行乘以 2：

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} & 1 \end{array} \right)\begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{2f_3} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}1} & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

我们现在必须转变

$\sfrac{1}{2}$

最后一列的余数为 0。但是，这次我们不能将该行乘以 2，因为我们还会将 1 转换为 2（当单位矩阵在该位置有 1 时）。因此，我们将第 3 行除以 -2 添加到第 2 行：

$\begin{array}{lrrr|rcr} & 0 & 1 & \vphantom{\Bigl(} \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\ + & 0 & 0 &\vphantom{\Bigl(} -\sfrac{1}{2} & 1 & \sfrac{5}{2} & -1 \\ \hline & 0 & 1 & 0\phantom{0} & 1 & 3 \vphantom{\Bigl(} & -1 \end{array} \begin{array}{l}\vphantom{\Bigl(} \color{blue}\bm{\leftarrow f_2} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow f_3/(-2)}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}$

因此，通过执行此操作，我们成功地改变了

$\sfrac{1}{2}$

在 0 中：

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2-f_3/2} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

最后，我们只需要将第三列第一行中的 1 转换为 0。第三行同一列中也有一个 1，因此我们将第 3 行乘以 -1 添加到第 1 行：

$\begin{array}{lrrr|rcr} & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ + & 0 & 0 & -1 & 2 & 5 & -2 \\ \hline & 1 & 0 & 0 & 3 & 5 & -2 \end{array} \begin{array}{l}\color{blue}\bm{\leftarrow f_1} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_3}\\ \phantom{hline} \end{array}$

通过执行此操作，我们可以将 1 转换为 0：

$\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 &0 & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1-f_3} \\[2ex] \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 3 & 5 & -2 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

一旦我们成功地将左矩阵转换为单位矩阵，我们也就知道了逆矩阵。因为逆矩阵就是我们将左矩阵转为单位矩阵在右边得到的矩阵。因此矩阵的逆为：

用高斯方法解决逆矩阵的练习

练习1

通过高斯方法对以下矩阵求逆：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{pmatrix}$

查看解决方案

我们需要做的第一件事是将 A 矩阵和单位矩阵合并为一个矩阵。左边是A矩阵，右边是单位矩阵：

$\displaystyle \left( A \ | \ I \right)$

现在，为了计算逆矩阵，我们需要将左侧矩阵转换为单位矩阵。为此，我们需要对行进行转换，直到到达那里。

第一项 1 已经与单位矩阵相同。因此，此时无需对第一行应用转换。

但是，单位矩阵第一列的最后一个元素为 0，而现在为 1。因此，我们需要将 1 转换为 0。为此，我们从第 2 行中减去第 1 行：

$\left( \begin{array}{cc|cc}1 & 2 & 1 & 0 \\[1.5ex] 1 & 3 & 0 & 1\end{array} \right) \begin{array}{c} \\[1.5ex] \xrightarrow{f_2 - f_1} \end{array} \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\[1.5ex] 0 & 1 & -1 & 1\end{array} \right)$

我们继续看第二列：下面的 1 很好。但不是上面的 2，因为单位矩阵在该位置有一个 0。因此，为了将 2 转换为 0，我们从第 1 行减去第 2 行乘以 2：

$\left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\[1.5ex] 0 & 1 & -1 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1 - 2f_2} \\[1.5ex] & \end{array} \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 3 & -2 \\[1.5ex] 0 & 1 & -1 & 1 \end{array} \right)$

逆矩阵就是我们将左边的矩阵转换为单位矩阵后得到的右边的矩阵。现在我们在左侧得到了单位矩阵。因此逆矩阵为：

$\bm{A^{-1}= \left(} \begin{array}{cc} \bm{3} & \bm{-2} \\[1.5ex] \bm{-1} & \bm{1} \end{array}\bm{ \right)}$

练习2

使用高斯过程对以下矩阵求逆：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -4 \\[1.1ex] 0 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

查看解决方案

首先，我们将 A 矩阵和单位矩阵放入一个矩阵中：

$\displaystyle \left( A \ | \ I \right)$

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

现在我们需要变换行，直到将左矩阵转换为单位矩阵。

左矩阵的第一列已经与单位矩阵的第一列相同。因此没有必要修改其任何数字。

然而，单位矩阵第二列的第二个元素中有一个 1，其中现在有一个 3。因此，我们必须将 3 转换为 1。为此，我们从第 2 行减去第 3 行乘以 2：

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 3 & 2 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 - 2f_3} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -2 \\[2ex] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

单位矩阵第二列的最后一个元素中有一个 0，而现在有一个 1。因此，我们必须将 1 转换为 0。为此，我们从第 3 行中减去第 2 行：

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -2 \\[2ex] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -2 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 3 \end{array} \right)$

单位矩阵第二列的第一个元素中有一个 0，而现在有一个 1。因此，我们必须将 1 转换为 0。为此，我们从第 1 行中减去第 2 行：

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & -4 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -2 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 3 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1 - f_2} \\[2ex] \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & -4 & 1 & -1 & 2 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -2 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 3 \end{array} \right)$

我们现在要做的就是将 -4 转换为 0。为此，我们将第 3 行乘以 4 添加到第 1 行：

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -4 & 1 & -1 & 2 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -2 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 3\end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1 + 4f_3} \\[2ex] \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & 1 & -5 & 14 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -2 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 3 \end{array} \right)$

我们已经从左侧获得了单位矩阵。因此逆矩阵为：

$\bm{A^{-1}= \left( } \begin{array}{ccc} \bm{1} & \bm{-5} & \bm{14} \\[2ex] \bm{0} & \bm{1} & \bm{-2} \\[2ex] \bm{0} & \bm{-1 }& \bm{3} \end{array} \bm{ \right)}$

练习3

使用高斯方法对以下矩阵求逆：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

查看解决方案

在开始操作之前，我们需要将A矩阵和单位矩阵合并成一个矩阵：

$\displaystyle \left( A \ | \ I \right)$

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

我们现在必须通过对行进行操作将左矩阵转换为单位矩阵。

第一列的前两个元素已经与单位矩阵的前两个元素相同。因此没有必要修改这些数字。

但是单位矩阵第一列的第三个元素中有一个 0，其中现在有一个 2。因此，我们必须将 2 转换为 0。为此，我们从第 3 行减去第 1 行乘以 2：

$\left( \begin{array}{ccc|ccc}1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - 2f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & -4 & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array} \right)$

单位矩阵第二列的第一个元素中有一个 0，现在有一个 2。因此，我们必须将 2 转换为 0。为此，我们从第 1 行减去第 2 行乘以 2：

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & -4 & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1 -2f_2} \\[2ex] \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0\\[2ex] 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & -4 & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array} \right)$

单位矩阵第二列的最后一个元素为 0，现在为 -4。因此，我们必须将 -4 转换为 0。为此，我们将第 2 行乘以 4 添加到第 3 行：

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0\\[2ex] 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & -4 & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 +4f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0\\[2ex] 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & 4 & 1 \end{array} \right)$

我们现在要做的就是将第三列的第一个元素转换为 0。为此，我们将第 3 行乘以 -1 添加到第 1 行：

$\left( \begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 1 & 1 & -2 & 0\\[2ex] 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & 4 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1 - f_3} \\[2ex] \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & 3 & -6 & -1\\[2ex] 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & 4 & 1 \end{array} \right)$

我们已经意识到左边的矩阵是单位矩阵。所以矩阵的逆

$A$

东方：

$\bm{A^{-1}= \left( } \begin{array}{ccc} \bm{3} & \bm{-6} & \bm{-1} \\[2ex] \bm{0} & \bm{1} & \bm{0} \\[2ex] \bm{-2} & \bm{4}& \bm{1} \end{array} \bm{ \right)}$

练习4

使用高斯方法对以下矩阵求逆：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\[1.1ex] 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

查看解决方案

我们需要做的第一件事是将 A 矩阵和单位矩阵连接成一个矩阵：

$\displaystyle \left( A \ | \ I \right)$

$\left( \begin{array}{ccc|ccc}1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 1 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

我们现在必须通过应用行运算将左侧的矩阵转换为单位矩阵。

第一列的第一个元素已经与单位矩阵的第一个元素相同。因此没有必要改变它。

然而，单位矩阵第一列的第二个元素中有一个 0，而现在有一个 1。因此，我们必须将 1 转换为 0。为此，我们从第 2 行中减去第 1 行：

$\left( \begin{array}{ccc|ccc}1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 1 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 - f_1} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

我们继续看第二列：我们首先将第二行除以 4，将 4 转换为 1：

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 4 & 2 & -1 & 1 & 0 \\[2ex] 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1\end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2/4} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{-1}{4} & \sfrac{1}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

单位矩阵第二列的第一个元素为 0，现在为 -2。因此，我们必须将 -2 转换为 0。为此，我们将第 2 行乘以 2 添加到第 1 行：

$\begin{array}{lrrr|rcr} & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ + & 0 & 2 & 1 & \vphantom{\Bigl(}\sfrac{-2}{4} & \sfrac{2}{4} & 0 \\ \hline & 1 & 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{2}{4} \vphantom{\Bigl(}& 0 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_1} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow 2f_2}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}$

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{-1}{4} & \sfrac{1}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1\end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1 +2f_2} \\[2ex] \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{2}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{-1}{4} & \sfrac{1}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

单位矩阵第二列的最后一个元素中有一个 0，现在有一个 3。因此，我们必须将 3 转换为 0。为此，我们从第 3 行减去第 2 行乘以 3：

$\begin{array}{lrrr|crr} & 0 & 3 & 2 & 0 & 0\phantom{0} & 1 \\ + & 0 & -3 & \vphantom{\Bigl(}\sfrac{-6}{4} & \sfrac{3}{4} & \sfrac{-3}{4} & 0 \\ \hline & 0 & 0 & \vphantom{\Bigl(}\sfrac{2}{4} & \sfrac{3}{4} & \sfrac{-3}{4} & 1 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -3f_2}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}$

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{2}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{-1}{4} & \sfrac{1}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -3f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{2}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{-1}{4} & \sfrac{1}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 0 &\sfrac{2}{4} & \sfrac{3}{4} & \sfrac{-3}{4} & 1 \end{array} \right)$

我们继续第三列：我们必须改造最后一个

$\sfrac{2}{4}$

变成 1。为此，我们将第三行乘以 2：

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{2}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{-1}{4} & \sfrac{1}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 0 &\sfrac{2}{4} & \sfrac{3}{4} & \sfrac{-3}{4} & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{2f_3 } \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{2}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{-1}{4} & \sfrac{1}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & \sfrac{6}{4} & \sfrac{-6}{4} & 2 \end{array} \right)$

单位矩阵最后一列的第二个元素为 0。因此有必要将其转换为

$\sfrac{2}{4}$

变成 0。为此，我们从第 2 行减去第 3 行除以 2：

$\begin{array}{lrrr|ccr} & 0 & 1 & \vphantom{\Bigl(} \sfrac{2}{4} & \sfrac{-1}{4} & \sfrac{1}{4} & 0 \\ + & 0 & 0 & \vphantom{\Bigl(} \sfrac{-1}{2} & \sfrac{-6}{8} & \sfrac{6}{8} & -1 \\ \hline & 0 & 1 & 0\phantom{0} & -1 & 1 & -1\vphantom{\Bigl(} \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_2}\vphantom{\Bigl(} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_3/2}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}$

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{2}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{-1}{4} & \sfrac{1}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & \sfrac{6}{4} & \sfrac{-6}{4} & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2-f_3/2 } \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{2}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & \sfrac{6}{4} & \sfrac{-6}{4} & 2 \end{array} \right)$

我们现在要做的就是将第三列的第一个元素转换为 0。为此，我们从第 1 行中减去第 3 行：

$\begin{array}{lrrr|rcr} & 1 & 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{2}{4} & 0 \vphantom{\Bigl(} \\ + & 0 & 0 & -1 & \sfrac{-6}{4} & \sfrac{6}{4} & -2 \vphantom{\Bigl(} \\ \hline & 1 & 0 & 0 & -1 & 2 & -2 \vphantom{\Bigl(} \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_1}\vphantom{\Bigl(} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_3}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}$

$\left( \begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 1 & \sfrac{2}{4} & \sfrac{2}{4} & 0 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & \sfrac{6}{4} & \sfrac{-6}{4} & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1-f_3 } \\[2ex] \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 2 & -2 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & \sfrac{6}{4} & \sfrac{-6}{4} & 2 \end{array} \right)$

因此逆矩阵为：

$A^{-1}= \left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 & -2 \\[2ex] -1 & 1 & -1 \\[2ex] \sfrac{6}{4} &\sfrac{-6}{4} & 2 \end{array} \bm{ \right)}$

最后，逆矩阵的分数可以简化：

$\bm{A^{-1}= \left( } \begin{array}{ccc} \bm{-1} & \bm{2} & \bm{-2} \\[2ex] \bm{-1} & \bm{1} & \bm{-1} \\[2ex] \sfrac{\bm{3}}{\bm{2}} &\sfrac{\bm{-3}}{\bm{2}} & \bm{2} \end{array} \bm{ \right)}$

逆矩阵性质

逆矩阵具有以下特点：

矩阵的逆矩阵是唯一的。

逆矩阵的逆就是原矩阵：

$\left(A^{-1}\right)^{-1} = A$

两个矩阵相乘的逆矩阵等于矩阵逆矩阵的乘积，但改变了它们的顺序。

$\left(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$

对矩阵进行转置，然后对矩阵求逆，就像先对矩阵求逆，然后对它进行转置。

$\left(A^t\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{t}$

为了求解矩阵的逆矩阵的行列式，我们可以计算矩阵的行列式，然后对其求逆，因为这两个运算给出相同的结果。

$\displaystyle det\left(A^{-1}\right) =\bigl( det(A) \bigr) ^{-1} = \cfrac{1}{det(A)}$

快速计算 2×2 矩阵逆的公式

正如我们所见，任何矩阵都可以通过行列式方法或高斯方法求逆。但是，另外还有一个公式可以快速找到 2×2 矩阵的逆矩阵：

如您所见，求逆 2×2 矩阵很简单：只需求解矩阵的行列式

$(|A|)$

，交替主对角线元素的位置，并更改次对角线元素的符号。

如何使用以下公式获得 2 × 2 逆矩阵的示例

计算以下 2 × 2 方阵的逆矩阵：

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\[1.1ex] -2 & -4 \end{pmatrix}$

矩阵 A 的行列式为：

$\displaystyle \begin{aligned}\begin{vmatrix}A\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 5 \\[1.1ex] -2 & -4 \end{vmatrix} & = 3 \cdot (-4)- (-2) \cdot 5 \\ & = -12-(-10) \\[2ex] & =-12+10\\[2ex] &=-2\end{aligned}$

现在我们应用逆矩阵公式：

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}\longrightarrow A^{-1} = \cfrac{1}{|A|} \begin{pmatrix} d & -b \\[1.1ex] -c & a \end{pmatrix}$

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\[1.1ex] -2 & -4 \end{pmatrix}\longrightarrow A^{-1} = \cfrac{1}{-2} \begin{pmatrix} -4 & -5 \\[1.1ex] 2 & 3 \end{pmatrix}$

我们将矩阵乘以分数：

$\displaystyle A^{-1} =\begin{pmatrix} \cfrac{-4}{-2} & \cfrac{-5}{-2} \\[3ex] \cfrac{2}{-2} & \cfrac{3}{-2} \end{pmatrix}$

因此，逆矩阵 A 为：

$\displaystyle \bm{A^{-1} =}\begin{pmatrix} \bm{2} & \cfrac{\bm{5}}{\bm{2}} \\[3ex] \bm{-1} & \bm{-}\cfrac{\bm{3}}{\bm{2}} \end{pmatrix}$

正如您所看到的，使用此公式对矩阵求逆要快得多，但它只能用于维度为 2×2 的矩阵。

用以下公式解决 2×2 逆矩阵的练习

练习1

对以下 2×2 维矩阵求逆：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{pmatrix}$

查看解决方案

矩阵 A 的行列式为：

$\displaystyle \begin{aligned}\begin{vmatrix}A\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{vmatrix} & = 2 \cdot 3- 1 \cdot 5 \\ & = 6-5 \\[2ex] & =1\end{aligned}$

现在我们应用公式来求逆矩阵：

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}\longrightarrow A^{-1} = \cfrac{1}{|A|} \begin{pmatrix} d & -b \\[1.1ex] -c & a \end{pmatrix}$

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{pmatrix} \longrightarrow A^{-1} = \cfrac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{pmatrix}$

因此，矩阵 A 的逆矩阵为：

$\displaystyle \bm{A^{-1} =}\begin{pmatrix} \bm{3} & \bm{-5} \\[1.1ex] \bm{-1} & \bm{2} \end{pmatrix}$

练习2

计算以下 2 阶矩阵的逆矩阵：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{pmatrix}$

查看解决方案

矩阵 A 的行列式为：

$\displaystyle \begin{aligned}\begin{vmatrix}A\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{vmatrix} & = 2 \cdot (-2)- (-1) \cdot 6 \\ & = -4-(-6) \\[2ex] & =-4+6 \\[2ex] & =2\end{aligned}$

现在我们应用公式来求解 2×2 维的逆矩阵：

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}\longrightarrow A^{-1} = \cfrac{1}{|A|} \begin{pmatrix} d & -b \\[1.1ex] -c & a \end{pmatrix}$

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{pmatrix} \longrightarrow A^{-1} = \cfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 & -6 \\[1.1ex] 1 & 2 \end{pmatrix}$

最后，我们进行乘法：

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \cfrac{-2}{2} & \cfrac{-6}{2} \\[3ex] \cfrac{1}{2} & \cfrac{2}{2} \end{pmatrix}$

$\displaystyle \bm{A^{-1} =}\begin{pmatrix} \bm{-1} & \bm{-3} \\[2ex] \cfrac{\bm{1}}{\bm{2}} & \bm{1} \end{pmatrix}$

练习3

反转以下 2×2 矩阵：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\[1.1ex] 5 & 2 \end{pmatrix}$

查看解决方案

矩阵 A 的行列式为：

$\displaystyle \begin{aligned}\begin{vmatrix}A\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\[1.1ex] 5 & 2\end{vmatrix} & = 4 \cdot 2 - 5 \cdot 1 \\ & = 8-5 \\[2ex] & =3\end{aligned}$

现在我们应用公式来计算维度为 2×2 的逆矩阵：

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}\longrightarrow A^{-1} = \cfrac{1}{|A|} \begin{pmatrix} d & -b \\[1.1ex] -c & a \end{pmatrix}$

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\[1.1ex] 5 & 2 \end{pmatrix} \longrightarrow A^{-1} = \cfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] -5 & 4 \end{pmatrix}$

最后，我们计算分数和矩阵之间的乘积：

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \cfrac{\bm{2}}{\bm{3}} & \bm{-}\cfrac{\bm{1}}{\bm{3}} \\[3ex] \bm{-}\cfrac{\bm{5}}{\bm{3}} & \cfrac{\bm{4}}{\bm{3}} \end{pmatrix}$

练习4

求以下二阶矩阵的逆矩阵：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} -2 & 5 \\[1.1ex] -3 & 10 \end{pmatrix}$

查看解决方案

矩阵 A 的行列式为：

$\displaystyle \begin{aligned}\begin{vmatrix}A\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -2 & 5 \\[1.1ex] -3 & 10\end{vmatrix} & = (-2) \cdot 10- (-3) \cdot 5 \\ & = -20-(-15) \\[2ex] & =-20+15 \\[2ex] & =-5\end{aligned}$

现在我们应用公式来创建维度为 2×2 的逆矩阵：

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}\longrightarrow A^{-1} = \cfrac{1}{|A|} \begin{pmatrix} d & -b \\[1.1ex] -c & a \end{pmatrix}$

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} -2 & 5 \\[1.1ex] -3 & 10\end{pmatrix} \longrightarrow A^{-1} = \cfrac{1}{-5} \begin{pmatrix} 10 & -5 \\[1.1ex] 3 & -2 \end{pmatrix}$

最后，我们进行乘法：

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \cfrac{10}{-5} & \cfrac{-5}{-5} \\[3ex] \cfrac{3}{-5} & \cfrac{-2}{-5} \end{pmatrix}$

$\displaystyle \bm{A^{-1} =}\begin{pmatrix} \bm{-2} & \bm{1} \\[2ex] \bm{-}\cfrac{\bm{3}}{\bm{5}} & \cfrac{\bm{2}}{\bm{5}} \ \end{pmatrix}$

用逆矩阵求解方程组

理解矩阵逆的实际应用是很困难的。事实上，您可能想知道……逆矩阵有什么用？它真的有什么用途吗？

嗯，逆矩阵的用途之一是求解线性方程组。是的，尽管它们看起来像是两个截然不同的概念，但可以通过矩阵求逆来找到方程组的解。

让我们通过一个例子来看看这是如何完成的：

使用逆矩阵计算以下方程组的解：

$\left. \begin{array}{r} x+3y=5 \\[2ex] 2x+4y=6 \end{array} \right\}$

首先，必须观察到方程组可以用矩阵的形式表示：

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\[1.1ex]y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\[1.1ex] 6 \end{pmatrix}$

我们可以验证系统的这种矩阵形式与方程的表达式等效：如果我们将矩阵相乘，我们将看到我们得到系统的两个方程。

现在，为了简化后续步骤，我们将调用

$A$

具有未知数系数的矩阵，

$X$

到具有未知数的矩阵列，以及

$B$

到具有独立项的列矩阵：

$\displaystyle AX=B$

所以矩阵

$X$

是矩阵方程的未知数。

要求解此矩阵方程，您必须遵循我们在此不详细解释的过程。如果你想完全理解它，你可以查看如何用矩阵求解方程，我们一步步解释整个过程。

此过程基于逆矩阵的属性：任何矩阵乘以其逆矩阵都等于单位（或单位）矩阵。因此，未知矩阵可以很容易地求解

$X$

将方程两边同时乘以矩阵 A 的逆矩阵：

$\displaystyle AX=B$

$\displaystyle A^{-1}\cdot AX=A^{-1}\cdot B$

$\displaystyle IX=A^{-1}\cdot B$

$\displaystyle X=A^{-1}\cdot B$

一旦我们分离出矩阵

$X$

，我们计算的倒数

$A$

我们求解矩阵的乘积：

$\displaystyle X=\left.\begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix}\right.^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 5 \\[1.1ex] 6 \end{pmatrix}$

$\displaystyle X=\cfrac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 5 \\[1.1ex] 6 \end{pmatrix}$

$\displaystyle X= \begin{pmatrix} -1 \\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

因此，方程组的解为：

$\displaystyle \bm{x=-1} \qquad \bm{y=2}$

什么是矩阵的逆矩阵？

什么时候可以对矩阵求逆，什么时候不能？

使用行列式方法（或使用邻接矩阵）对矩阵求逆

使用行列式方法（或伴随矩阵）计算逆矩阵的示例：

用行列式（或邻接矩阵）方法解决逆矩阵的练习

练习1

练习2

练习3

练习4

练习5

使用高斯方法求逆矩阵：

高斯方法中允许的线变换

使用高斯方法计算逆矩阵的示例：

用高斯方法解决逆矩阵的练习

练习1

练习2

练习3

练习4

逆矩阵性质

快速计算 2×2 矩阵逆的公式

如何使用以下公式获得 2 × 2 逆矩阵的示例

用以下公式解决 2×2 逆矩阵的练习

练习1

练习2

练习3

练习4

用逆矩阵求解方程组

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