▷ 用鲁菲尼法则除多项式（已解决的练习）

在本页中，我们将解释如何应用鲁菲尼规则来除多项式。除了解释之外，您还可以看到使用鲁菲尼规则逐步解决多项式除法的示例和练习。此外，您还会发现该方法的所有应用，事实上，不止一个应用肯定会让您感到惊讶。

鲁菲尼法则是什么？

在数学中，鲁菲尼规则是一种代数方法，可让您快速将任何多项式除以xr形式的多项式。鲁菲尼法则以数学家保罗·鲁菲尼的名字命名，他发明了这种方法。

然而，鲁菲尼法则不仅仅用于多项式除法，它还有许多其他用途。例如，鲁菲尼规则还用于求多项式的根、求多项式的数值、对多项式进行因式分解，甚至用于求解三次或更高次的方程。下面我们将看到如何应用鲁菲尼规则来执行所有这些操作。

最后，鲁菲尼法则也称为鲁菲尼方法、鲁菲尼定理或多项式综合除法。

如何应用鲁菲尼规则

正如我们所看到的，鲁菲尼规则的主要用途是用多项式除以二项式，也就是说进行以下类型的除法：

$\left(x^3+4x^2-2x+1\right) : \left(x-1\right)$

请注意，要使用 Ruffini 规则，除法多项式必须始终由x （系数等于 1）和数字（正数或负数）构成，否则无法使用 Ruffini 算法。

要应用鲁菲尼规则，必须遵循一个完整的过程，所以下面我们将逐步解决一个例子，看看鲁菲尼规则（或鲁菲尼方法）是如何应用的。

鲁菲尼规则的示例

使用鲁菲尼法则求解以下多项式除法：

$\left(x^3+3x^2-1\right) : \left(x-2\right)$

首先，你需要画两条互相相交的垂直线，然后按如下方式放置被除数和除数：

正如您所看到的，我们必须将除数多项式的系数放在顶部，从最高次到最低次排序，并且我们将除数多项式的独立项放在框的左侧，并更改符号。

警告：如果被除数多项式没有一定次数的项（不完全多项式），则在其位置上放置 0。例如，在这种情况下多项式

$x^3+3x^2-1$

它没有 1 次单项式，所以我们在它的位置放一个 0。

一旦我们定位了运算中涉及的多项式，我们将第一个数字直接降低到下面的行：

现在是鲁菲尼规则的特征步骤：我们将下面的数字乘以左边的数字，并将结果放在以下列中：

我们将列中的数字相加，将总和的结果放在下面：

因此，鲁菲尼的方法涉及重复这个过程。所以我们再次做同样的事情：我们将底部的数字乘以左边的数字，我们将结果放入下一列，最后，我们添加垂直对齐的数字：

我们依次重复相同的过程，直到结束。我们首先将下面的数字与左边的数字相乘，然后将结果放入下一列，最后将同一列中的数字相加：

因此，当我们填满所有列时，这意味着我们完成了多项式除法。

所以你只需要找到多项式相除的结果：

两个多项式相除的余数是下面一行中的最后一个数字，因此在我们的例子中，余数等于 19。余数通常通过在左侧放置一个横条和在所述数字下方放置另一个横条来指示。
多项式除法的商由得到的其他值决定，这些值是多项式商的系数。右起第一位数字对应0级项的系数，下一位数字对应1级项的系数，再下一位对应2级项的系数，再下一位对应3级项的系数，……以此类推，直到最后。。所以：

已解决鲁菲尼规则的练习

下面您将找到几个有关鲁菲尼规则的逐步求解练习，以便您可以练习和了解如何使用此方法求解多项式除法。我们建议您尝试每个练习，然后通过查看修正来检查您是否正确完成。

练习1

使用鲁菲尼规则执行以下多项式除法：

$\left( 2x^3 +4x^2 +6x -5 \right): \left( x+2 \right)$

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因此，两个多项式相除的结果是：

商：

$2x^2 +6$

休息：

$-17$

练习2

使用鲁菲尼规则计算以下多项式除法：

$\left(-2x^3+4x-3\right):\left(x-3\right)$

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在这种特殊情况下，被除数多项式没有二次项，因此我们必须在其位置上加零：

因此，两个多项式相除的结果是：

商：

$-2x^2 -6x-14$

休息：

$-45$

练习3

按鲁菲尼法则求下列多项式除法的结果：

$\left( 3x^4+2x^3-4x^2-5x+4 \right) : \left(x+1 \right)$

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综上，两个多项式相除的结果为：

商：

$3x^3-x^2-3x-2$

休息：

$6$

练习4

求出未知m的值，使得以下多项式除法的余数等于 5：

$\left( x^3+4x^2-3x+m \right): \left(x-1\right)$

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由于除数的形式为(xr)或(x+r)，我们可以应用鲁菲尼规则来解决除法问题。因此，我们通过拖动未知的 m 来应用 Ruffini 的方法：

现在我们将得到的余数等于 5，因为余数必须是 5：

$m+2=5$

我们求解方程来找到参数m的值：

$m=5-2$

$\bm{m=3}$

因此，当变量m等于 3 时，多项式除法的余数将等于 5。

练习5

确定参数m的值，使得以下多项式除法的余数为 3：

$\left( x^3-x^2+mx+7 \right): \left(x+1\right)$

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由于除数的形式为(xr)或(x+r)，我们可以应用鲁菲尼规则来解决除法问题。因此，我们通过拖动未知的 m 来使用 Ruffini 的方法：

在最后一次乘法中记住分配律：

$-1\cdot(2+m)=-2-m$

另一方面，除法余数的计算为：

$7 + (-2-m)$

$7 -2 - m$

$5 -m$

现在我们将结果余数表达式等于 3，因为除法的余数必须等于 3：

$5 - m = 3$

我们求解所得方程以确定参数m的值：

$-m=3-5$

$-m=-2$

$m= \cfrac{-2}{-1}$

$\bm{m=2}$

因此， m必须等于 2，多项式除法的余数才等于 3。

鲁菲尼规则的更多应用

正如所解释的，鲁菲尼规则主要用于执行多项式之间的除法。然而，鲁菲尼规则也用于执行其他计算，我们将在下面看到它们。

多项式的根

使用鲁菲尼规则可以轻松确定多项式的根。如果你不知道多项式的根是什么，让我们回顾一下它的定义：

多项式的根（或零点）是取消多项式的值。或者换句话说，多项式的根是在多项式中计算时数值等于 0 的所有值。

$P(a) = 0 \quad \color{red}\bm{\longrightarrow} \color{black}\quad a \text{ es una ra\'iz de } P(x)$

另一方面，由于余数定理，我们知道如果给定值的多项式的数值

$a$

为零，必然是所述多项式除法的余数

$(x-a)$

它也必须是 0。

$P(a) = 0 \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \text{resto de } P(x):(x-a) \text{ es } 0$

因此，如果使用鲁菲尼规则来除多项式

$P(x)$

另一个形式的多项式之间

$(x-a)$

我们得到余数等于 0，这意味着

$a$

是多项式的根

$P(x).$

通过一个例子，我们一定会更好理解：

检查是否
$x=2$

是多项式的根

$P(x)=x^3-x^2-4x+4.$

要检查给定值是否是多项式的根，只需对所述多项式和所述值应用 Ruffini 方法：

由于鲁菲尼规则获得的余数等于零，这意味着实际上

$x=2$

是多项式的根

$P(x).$

多项式因式分解

鲁菲尼法则是通常应用于阶乘多项式的方法，因为它可以让你快速知道 3、4、5 等多项式的所有根。

让我们通过一个例子来看看如何使用 Ruffini 算法对多项式进行因式分解：

对以下三次多项式进行因式分解：

$P(x)=x^3-2x^2-5x+6$

首先要做的是找到多项式的所有根。多项式的可能根是独立项的约数，在本例中为 6。因此：

多项式的可能根：+1、-1、+2、-2、+3、-3、+6、-6

我们现在需要尝试用鲁菲尼规则将多项式除在每个值之间。如果除法余数为0，则表示该值为多项式的根；但是，如果除法的余数不为 0，则该值不是多项式的根。因此，在以下三种情况下，用所有数字测试鲁菲尼规则只会取消余数：

因此，问题中多项式的根就是余数消失的值，即：

$x=1 \qquad x=-2 \qquad x=3$

最后，为了因式分解多项式，我们必须表达每个根

$x=a$

以类型因子的形式

$(x-a)$

，也就是说，对于每个根，您必须在括号中添加一个

$x$

并且找到的根已经改变了符号：

$\bm{P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)}$

正如您所看到的，我们已经使用鲁菲尼规则成功地将多项式因式分解。然而，您可能对多项式因式分解有疑问，因为它是一个非常复杂的主题。在这种情况下，您可以在我们的网站（在右上角的搜索引擎中）搜索有关如何分解多项式的文章，我们在那里进行了更详细的解释，您可以用它来练习逐步解决的练习。此外，我们还向您展示了多项式因式分解的其他方法。