衍生品

这里我们解释如何导出所有类型的函数。您将找到所有导数的公式以及示例和分步导数练习。

什么是衍生产品？

导数是用于研究函数的数学规则。特别是，函数在某一点的导数是极限的结果，表示函数在该点的行为。

函数的导数用撇号‘表示，也就是说函数f'(x)是函数f(x)的导数。

在几何上，函数在一点的导数的含义是函数在该点的切线的斜率。

函数导数的数学定义如下：

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

然而，函数的导数通常不使用上述公式计算，而是根据函数的类型应用微分规则。下面解释所有的推导公式。

导出公式

了解导数的定义后，我们将了解它们是如何制作的，并通过示例解释每种类型的导数。这篇文章的目的是让你更好地理解导数的概念，所以如果你最终对函数是如何推导有任何疑问，可以在评论中询问我们。

由常数导出

无论常数的值如何，常数的导数始终为零。

因此，要求常数函数的导数，不需要做任何数学运算，只需导数为零即可。

看看下面常数导数的实际例子：

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

线性函数的导数

线性函数的导数是一次项的系数，也就是说线性函数的导数f(x)=Ax+B等于A

看一下以下示例，了解如何导出此类函数：

$\begin{array}{c}f(x)=3x-1\quad\longrightarrow\quad f'(x)=3\\[3ex]f(x)=5x\quad\longrightarrow\quad f'(x)=5\\[3ex] f(x)=-2x+9\quad\longrightarrow\quad f'(x)=-2\end{array}$

源于一种力量

幂或势函数的导数是幂的指数乘以指数负 1 的底数的乘积。

因此，要导出幂，只需将函数乘以指数，然后从指数中减去一个单位即可。

例如，x 三次方的导数为：

$f(x)=x^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=3\cdot x^{3-1}=3x^2$

您可以在这里练习此类导数的练习（以及更困难的练习）：

➤请参阅： 已解决幂导数的练习

源于一个根

根或无理函数的导数等于 1 除以根的索引乘以同一根的乘积再从被数的指数中减去 1。

作为示例，您可以在下面看到已求解的 x 平方根的导数：

$f(x)=\sqrt{x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{1}{2\sqrt{x^{2-1}}}=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}$

➤请参阅： 根的导数的已解决练习

指数函数的导数

指数函数的导数取决于底数是数字e还是其他数字。因此，有两个公式可以导出此类函数，并且您必须使用根据功率基础对应的公式：

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=a^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^x\cdot \ln(a)\\[3ex] f(x)=e^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x \end{array} \end{empheq}$

下面您可以看到此类函数的两个已求解导数：

$f(x)=7^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^x\cdot \ln(7)$

$f(x)=e^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x$

➤请参阅：指数函数导数的已解答练习

对数函数的导数

对数函数的导数取决于对数的底数，因为如果对数是自然数，则必须应用公式来求导数，如果对数有另一个数字作为底数，则必须使用另一个规则。

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}\\[3ex] f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}\end{array} \end{empheq}$

例如，x 以三为底的对数的导数为：

$f(x)=\log_3(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(3)}$

➤请参阅： 对数函数导数的已解决练习

三角导数

三角导数的三种主要形式是正弦函数、余弦函数和正切函数的导数，其公式如下：

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\text{sen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x)\\[2.5ex] f(x)=\text{cos}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(x)\\[1.1ex]f(x)=\text{tan}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{\text{cos}^2(x)}\end{array} \end{empheq}$