线：定义、特征、类型、方程……； -Mathority

与线相关的所有内容的解释：它是什么、存在的不同类型、如何以数学方式表达线（方程）、线的相对位置是什么、如何计算两条线之间的角度、线的解释直线的斜率，……

什么是线？

直线的数学定义如下：

线是一组无限的连续点，它们以相同的方向表示，没有曲线或角度。

另一方面，一条线对应于两个不同点之间的最小可能距离。

此外，线是沿同一方向延伸的线，因此它只有一维。

线路类型

我们刚刚看到了什么是线，但是你应该知道，线的类型不止一种，每种类型都有自己的特点。因此，线路可以分类如下：

平行线

平行线是那些永远不相交的线，也就是说，即使它们的轨迹延伸到无穷远，它们也永远不会互相接触。因此，两条平行线的点彼此之间的距离始终相同，而且两条平行线没有公共点。

相交线

在数学中，当两条线仅相交于一点时，它们就相交。因此，相交线只有一个公共点。

相交线的一个示例是垂直线，它们是相交于形成四个相等直角 (90°) 的点的线。

众所周知，垂直线非常重要，因此，我们有一页解释了您需要了解的有关此类线的所有信息：当两条线垂直时，如何计算彼此垂直的线，示例并解决了垂直线上的练习等等。所以我给你留下了线间垂直度的页面，以防你想了解更多。

另一方面，相交但不相交形成 90° 角而是另一个角度的线称为斜线。

重合线

两条重合线是具有所有公共点的两条线。因此，两条重合线是完全相同的。

射线

半线被称为通过在其中一个点将一条线切割成的两个部分中的每一部分。

例如，前一条线可以被A点分割，从而形成半线

$s$

和

$t.$

直线方程

在解析几何中，为了解析地表达任何直线，我们使用直线方程。为了找到一条线的方程，无论是在平面（在 R2 中）还是在空间（在 R3 中），您所需要的只是属于该线的点和该线的方向向量。

正如您在上一行的图形表示中看到的，这些行以小写字母命名，在本例中

$r.$

直线方程有多种类型。所有类型的直线方程都有相同的目标：以数学方式表示直线。但该直线的每个方程都有其属性，因此，根据问题的不同，最好使用其中之一。下面是该直线所有方程的公式。

直线的向量方程

是的

$\vv{\text{v}}$

是直线的方向向量，

$P$

属于右边的点：

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

直线的矢量方程的公式为：

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} (x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2) \end{empheq}$

金子：

$x$

和

$y$

是线上任意点的笛卡尔坐标。
$P_1$

和

$P_2$

是构成线的一部分的已知点的坐标

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

和

$\text{v}_2$

是线的方向向量的分量

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$

是一个标量（实数），其值取决于线上的每个点。

直线的参数方程

直线参数方程的公式如下：

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases} \end{empheq}$

金子：

$x$

和

$y$

是线上任意点的笛卡尔坐标。
$P_1$

和

$P_2$

是构成线的一部分的已知点的坐标

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

和

$\text{v}_2$

是线的方向向量的分量

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$

是一个标量（实数），其值取决于线上的每个点。

直线的连续方程

直线连续方程的公式为：

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2} \end{empheq}$

金子：

$x$

和

$y$

是线上任意点的笛卡尔坐标。
$P_1$

和

$P_2$

是构成线的一部分的已知点的坐标

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

和

$\text{v}_2$

是线的方向向量的分量

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$

直线的隐式或一般方程

是的

$\vv{\text{v}}$

是直线的方向向量，

$P$

属于右边的点：

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

直线的隐式、一般或笛卡尔方程的公式为：

金子：

$x$

和

$y$

是线上任意点的笛卡尔坐标。
系数
$A$

是直线方向向量的第二个分量：

$A=\text{v}_2}$
系数
$B$

是方向向量改变符号的第一个分量：

$B=-\text{v}_1}$
系数
$C$

通过替换已知点来计算

$P$

在直线方程中。

式中，直线的隐式方程也可以通过连续方程的分数相乘得到。

直线的显式方程

直线的显式方程的公式为：

金子：

$m$

是直线的斜率。
$n$

它的 y 轴截距，即与 Y 轴相交的高度。

在这种特殊情况下，计算显式方程的另一种方法是使用隐式方程；为此，只需删除变量

$y$

的隐式方程。

直线的点斜率方程

直线的点斜率方程公式如下：

金子：

$m$

是直线的斜率。
$P_1, P_2$

是线上一点的坐标

$P(P_1,P_2).$

直线的正则方程或分段方程

尽管直线方程的这种变体鲜为人知，但是可以从直线与笛卡尔轴的交点获得直线方程。

设与给定线的轴的两个交点为：

用 X 轴切割：

$(a,0)$

Y轴切割：

$(0,b)$

直线的正则方程的公式为：

我们刚刚看到了所有直线方程的公式，但是如果您愿意，您可以更深入地练习直线方程。此外，在此页面上，您将看到单线方程的更详细说明以及如何计算所有类型的单线方程的示例。

直线斜率的含义

有了上面的所有信息，我们已经完全知道直线的方程是什么样的，并且描述直线的一种方法是通过它的斜率。但实际上……直线的斜率是什么意思？

直线的斜率表示该直线相对于图形的每个水平单位上升的垂直单位。

例如，在下面的线的表示中，您可以看到每个水平单位前进 2 个垂直单位，因为它的斜率等于 2。

此外，直线的斜率也表示其陡峭程度：

如果一条线正在增加（上升），则其斜率为正。
如果一条线呈递减（下降）趋势，则其斜率为负。
如果一条线完全水平，则其斜率等于 0。
如果一条线完全垂直，则其斜率等于无穷大。

平面内两条直线的相对位置

当使用二维时（在 R2 中），两条线之间有 3 种可能的相对位置：

相交线

两条相交线只有一个公共点。

平行线

如果两条线没有公共点，则它们平行。也就是说，如果他们从不交叉。

重合线

如果两条线的所有点都是公共的，则两条线是相同的。

另一方面，平面中两条线之间的角度也取决于它们的相对位置：

相交线以 0°（不包括在内）和 90°（包括在内）之间的角度相交。此外，如果它们仅形成 90° 直角，则意味着这两条线是垂直的。
平行线形成的角度为 0°，因为它们具有相同的方向。
并且，出于同样的原因，重合线之间也形成 0° 角。

两条线之间的角度

有多种方法可以计算两条线之间的角度，有些方法相当复杂，因此我们将解释确定两条线之间的角度的最简单方法。

使用方向向量计算两条线之间的角度的公式为：

给定两条不同直线的方向向量：

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y)\qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

这两条线之间的角度可以用以下公式计算：

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}\rvert}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert} \end{empheq}$

金子

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

和

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

是向量的模

$\vv{\text{u}}$

和

$\vv{\text{v}}$

分别。

请记住，矢量大小的公式是：

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ \text{v}_x^2+\text{v}_y^2}$

显然，一旦我们用公式计算出了两条直线所成角度的余弦，就必须将余弦反转才能知道角度的值。

什么是线？

线路类型

平行线

相交线

重合线

射线

直线方程

直线的向量方程

直线的参数方程

直线的连续方程

直线的隐式或一般方程

直线的显式方程

直线的点斜率方程

直线的正则方程或分段方程

直线斜率的含义

平面内两条直线的相对位置

两条线之间的角度

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