平面内两条直线的相对位置

在此页面上，您将找到用于确定平面中两条线的相对位置（在 R2 中）的不同方法的说明。此外，您将看到几个示例，并且可以通过逐步解决的练习进行练习。

平面上两条直线的相对位置是多少？

在查看平面中两条线之间的相对位置之前，显然您需要确切地知道线是什么，您可以在line 的定义中找到它。

因此，当在二维（R2）中工作时，两条线之间有 3 种可能的相对位置：

另一方面，平面中两条线之间的角度也取决于它们的相对位置：

• 相交线以 0°（不包括在内）和 90°（包括在内）之间的角度相交。此外，如果它们仅形成 90° 直角，则意味着这两条线是垂直的。
• 平行线形成的角度为 0°，因为它们具有相同的方向。
• 并且，出于同样的原因，重合线之间也形成 0° 角。

如果你想知道两条线之间的角度是如何计算的，可以查看两条线之间的角度公式。在这里，您将找到如何确定两条线之间的角度的详细说明，以及几个示例甚至已解决的练习，以便您可以练习并完全理解这个概念。

如何求两条直线在平面上的相对位置

知道二维空间中两条线之间的相对位置取决于线的表达方式：

• 线方向向量：如果两条线具有不同的方向向量，则它们必须相交。另一方面，如果它们的方向向量的坐标相等或成比例，则它们可以平行或重合（需要检查它们是否有公共点）。

• 显式方程：当两条直线具有不同斜率时

  

  相反，如果线条具有相同的斜率但在原点处的顺序不同

  

  它们是平行的。最后，当两条线最初具有相同的斜率和纵坐标时，它们会被混淆。

• 一般（或隐式）方程：具有非比例系数 A 和 B 的两条直线将始终相交。然而，当这两个参数彼此成比例但不与系数 C 成比例时，它们将是平行的。最后，当这三项成比例时，这意味着线条是混乱的。

如果对上面直线方程有疑问，可以查阅平面直线方程的解释。在这里您将找到所有直线方程的公式、计算方法、直线方程的示例和解答练习。

下表总结了之前的属性：

接下来，我们将看到两个如何确定两条线之间的相对位置的示例：

实施例1

• 求以下以显式方程形式定义的两条线之间的相对位置：

两条线具有相同的斜率：

但他们的计算机来源不同：

因此，由于它们具有相同的斜率但截距不同，因此这些线是平行的。

实施例2

• 确定用隐式（或一般）方程表示的以下两条线之间的相对位置：

两条线都表示为显式方程，因此我们需要看看它们的系数是否成比例：

直线的 3 项成比例，因此直线重合。

使用方程组确定平面中两条线的相对位置

了解两条线之间相对位置的另一种方法是分析由线方程组成的方程组：

• 如果系统有唯一解，则两条线相交。此外，两条线的交点就是系统的解。
• 如果它是一个无解的系统，则表明这些线没有公共点，因此它们是平行线。
• 如果系统有无限多个解，这意味着这些线具有所有公共点，因此它们是相交线。

实施例3

• 使用方程组计算以下两条线的相对位置：

为了找到两条线的相对位置，我们需要求解以下由两条线组成的线性方程组：

在这种情况下，我们将用代入法来求解系统。因此我们将隔离变量

将第二个方程代入第一个方程：

一旦我们知道未知的价值有多少

我们将其值代入找到的表达式中

因此，我们只得到了两条直线组成的方程组的一个解，因此两条直线相交。而它们的交点就是系统的解，即点

解决了平面内两条直线的相对位置问题

练习1

确定下列直线是否相交、平行或重合：

两条线都表示为隐式（或一般）方程，因此我们需要查看它们的系数是否成比例：

只有直线的系数 A 和 B 彼此成比例，而不与系数 C 成比例。因此，两条直线平行。

练习2

求以参数方程表示的以下两条线之间的相对位置：

我们可以求解两条线形成的方程组来找到它们的相对位置。然而，由于它们是参数方程的形式，因此可以很容易地找到它们的方向向量，如果它们不成比例，则意味着直线相交。在这种情况下，我们不会花费太多时间来求解整个方程组。

这样每条线的方向向量的笛卡尔坐标就是参数前面的数字

一旦我们知道方向向量，我们就检查它们的比例：

方向矢量不成比例，因此线相互交叉。

练习3

指出以下直线是否相交、平行或重合，并找到它们之间的交点（如果适用）。

两条线由其显式方程定义并具有不同的斜率：

由于它们具有不同的斜率，因此线相交。

因此，由于两条线相交，它们将有 1 个公共点，为了计算它，我们必须求解由两条线形成的方程组：

在这种情况下，我们将使用均衡方法求解系统，因为两者

已经被删除：

一旦我们有了未知的东西

我们将其值替换为任何表达式

了解它的价值：

所以两条线的交点就是系统的结果：

练习4

计算未知数的值

和

使得以下两条线平行：

这些线以一般（或隐式）方程形式描述。因此，要使两条直线平行，它们的系数A和B必须成比例，即必须满足以下方程：

因此，我们必须求解前面的方程以获得未知值

为此，我们将分数交叉相乘：

另一方面，对于平行的线，它们的独立项不能与其他系数成比例：

因此，和以前一样，我们通过交叉相乘分数来求解不等式：

简而言之，让两条线平行

必须是 2 并且

可以是除 3 之外的任何实数。

练习5

求与直线平行的直线的显式方程

以及整个过程中会发生什么

说直话

使得线与线平行

两者必须具有相同的斜率。和线的斜率

是 2：

因此，我们需要找到的直线方程为：

一旦我们知道了直线的斜率，我们就可以通过将属于直线的点代入直线方程来计算 y 截距：

所以该直线的显式方程为：

如果您已经完成了这一步，则意味着您已经掌握了计划中两条线之间的相对位置。做得好！

但许多人想知道的一件事是……知道两条线之间的相对位置有什么用呢？

那么，线之间相对位置的应用之一就是能够知道两条线之间的距离，因为两条线之间距离的计算取决于它们的相对位置：

• 如果两条线相交或重合，则距离为零。
• 另一方面，当直线平行时，必须应用特定的公式。如果你更感兴趣，你可以看看两条平行线之间的距离是如何计算的。