两个平面在空间中的相对位置

在此页面上，您将找到两个平面（干燥平面、平行平面或重合平面）的所有可能的相对位置。您还将了解如何计算两个平面之间的相对位置，此外，您将能够查看示例并通过已解决的练习进行练习。

两个平面的相对位置是多少？

在解析几何中，两个平面之间只有三种可能的相对位置：割平面、平行平面和重合平面。

• 相交平面：如果两个平面仅相交于一条直线，则两个平面相交。
• 平行平面：如果两个平面在任何一点都不相交，则它们平行。
• 重合平面：如果两个平面都有公共点，则两个平面重合。

求两个平面之间的相对位置有两种方法：一种是根据两个平面的一般方程的系数，另一种是通过计算两个矩阵的秩。下面是每个过程的解释。

如何通过系数确定两个平面的相对位置

了解两个平面之间相对位置的一种方法是使用它们的一般（或隐式）方程的系数。

然后考虑两个不同平面的一般（或隐式）方程：

三维空间中两个平面之间的相对位置（在 R3 中）取决于它们的系数或参数的比例：

因此，当系数 A、B 或 C 之一与其他系数不成比例时，两个平面将相交。另一方面，当只有独立项不成比例时，两个平面将平行。最后，当两个方程的所有系数成比例时，计划将重合。

例如，我们计算以下两个平面的相对位置：

要知道它是什么类型的飞机，您需要检查哪些系数是成比例的：

系数A、B、C彼此成正比，但与系数D不成正比，因此两个平面平行。

如何通过范围计算两个平面的相对位置

获知两个确定的平面的相对位置的另一种方式包括计算由所述平面的系数形成的两个矩阵的范围。

因此，让我们成为两个不同平面的一般（或隐式）方程：

我们将两个方程的系数 A、B 和 C 组成的矩阵称为 A：

令矩阵 A’ 为包含两个方程所有系数的展开矩阵：

根据前面两个矩阵的范围可以知道两个平面的相对位置：

Rouche-Frobenius toerem（用于求解线性方程组的定理）可以证明相对位置取决于这两个矩阵的秩。不过，在本页中我们不会进行演示，因为没有必要了解它，而且它也没有提供太多内容。

所以你可以看到这是如何完成的，我们将计算以下两个平面之间的相对位置：

首先要做的是用两个平面方程的系数构造矩阵 A 和扩展矩阵 A’：

现在我们需要计算每个矩阵的秩。我们首先通过行列式求出矩阵 A 的范围：

矩阵 A 包含一个 2×2 子矩阵，其行列式不为零，因此它是一个秩为 2 的矩阵。

另一方面，还需要计算矩阵A’的秩。并且扩展矩阵 A’ 的秩将始终至少与矩阵 A 的秩相同，因此，在这种特定情况下，矩阵 A’ 的秩也等于 2。

使得两个矩阵的范围相等并且值为2，因此两个平面相交。

解决了两个平面相对位置的问题

练习1

研究以下两个平面的相对位置：

为了计算两个平面之间的相对位置，我们要看看两个平面的方程的系数是否成比例：

两个平面的隐式方程的所有系数都成正比，因此是两个重合平面。

练习2

确定下列两个平面的相对位置：

为了确定两个平面之间的相对位置，我们来分析它们方程的系数的比例关系：

两个平面的隐式方程的系数A和C彼此成正比，但与系数B不成比例。因此它们是两个割平面。

练习3

求以下两个平面的相对位置：

为了确定两个平面之间的相对位置，需要检查两个平面方程的系数是否成比例：

两个平面方程的前三个参数（A、B、C）彼此成正比，但与参数D不成正比，因此两个平面平行。

练习4

计算参数值

使得以下两个平面平行：

为了使两个平面平行，它们方程中的系数 A、B 和 C 必须成比例。换句话说，必须验证以下等式：

在这种特殊情况下，第一个计划的系数 A 和 B 是第二个计划的一半：

因此，我们需要求解上面的方程。为此，我们将两个分数相交叉：

所以参数的值

必须等于 10。