空间中两个平面之间的角度（公式）

在此页面上，您将了解如何计算空间中两个平面形成的角度（公式）。此外，您将能够看到示例并通过已解决的练习进行练习。

两个平面之间的角度公式

两个平面之间的角度等于所述平面的法向量形成的角度。因此，为了找到两个平面之间的角度，需要计算它们的法向量形成的角度，因为它们是相等的。

因此，一旦我们确切地知道了两个平面之间的角度是多少，我们就看一下计算空间中两个平面之间的角度的公式（在 R3 中），该公式是从两个向量之间的角度公式推导出来的：

给定两个不同平面的一般（或隐式）方程：

$\pi_1 : \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$

$\pi_2 : \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$

每个平面的法向量为：

$\vv{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$

$\vv{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$

这两个平面形成的角度是通过使用以下公式计算它们的法向量形成的角度来确定的：

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

因此，要确定两个平面之间的角度，必须掌握两个向量点积的计算。如果您不记得它是如何完成的，在链接中您将找到解决两个向量之间的点积的步骤。此外，您将能够看到逐步解决的示例和练习。

另一方面，当两个平面垂直或平行时，则不必应用该公式，因为可以直接确定两个平面之间的角度：

两个平行平面之间的角度为 0°，因为它们的法向量具有相同的方向。
两个垂直平面之间的角度为 90°，因为它们的法向量也彼此垂直（或正交），因此形成直角。

计算两个平面之间的角度的示例

这是一个具体示例，您可以了解如何确定两个不同平面之间的角度：

计算以下两个平面之间的角度：

$\pi_1 : \ 3x-5y+z+4=0$

$\pi_2 : \ 4x+2y+3z-1=0$

我们需要做的第一件事是找到每个平面的法向量。因此，垂直于平面的向量的坐标 X、Y、Z 分别与其通式（或隐式）方程的系数 A、B 和 C 重合：

$\vv{n}_1 = (3,-5,1)$

$\vv{n}_2 = (4,2,3)$

一旦我们知道了每个平面的法向量，我们就可以用以下公式计算它们形成的角度：

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

因此，我们必须找到每个法向量的大小：

$\sqrt{3^2+(-5)^2+1^2}= \sqrt{9+25+1} = \sqrt{35}$

$\sqrt{4^2+2^2+3^2}= \sqrt{16+4+9} = \sqrt{29}$

现在我们将每个未知数的值代入公式：

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-5,1) \cdot (4,2,3)\rvert}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{29} }$

我们通过求解两个向量的点积来计算角度的余弦：

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 4 + (-5)\cdot 2 +1 \cdot 3 \rvert}{\sqrt{35}\cdot \sqrt{29} }=\cfrac{\lvert 12-10+3 \rvert}{\sqrt{1015}}= \cfrac{5}{31,86}=0,16$

最后，我们通过使用计算器计算余弦的倒数来确定角度：

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,16)=\bm{80,97º}$

解决了两个平面之间的角度问题

练习1

求以下两个平面之间的角度：

$\pi_1 : \ x+2z-5=0$

$\pi_2 : \ 3x+y-4z+7=0$

查看解决方案

我们需要做的第一件事是找到每个平面的法向量。因此，垂直于平面的向量的坐标 X、Y、Z 分别相当于其通式（或隐式）方程的系数 A、B 和 C：

$\vv{n}_1 = (1,0,2)$

$\vv{n}_2 = (3,1,-4)$

一旦我们知道了每个平面的法向量，我们就可以用以下公式计算它们形成的角度：

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

因此，我们必须找到每个法向量的大小：

$\sqrt{1^2+0^2+2^2}= \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

$\sqrt{3^2+1^2+(-4)^2}= \sqrt{9+1+16} = \sqrt{26}$

我们将每个未知数的值代入公式：

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (1,0,2) \cdot (3,1,-4)\rvert}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{26} }$

我们计算角度的余弦：

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 1\cdot 3 + 0\cdot 1 +2 \cdot (-4) \rvert}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{26} }=\cfrac{\lvert 3-8 \rvert}{\sqrt{130}}= \cfrac{5}{11,4}=0,44$

最后，我们通过计算器反转余弦来找到两个平面之间的角度：

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,44)=\bm{63,99º}$

练习2

下面两个平面之间的角度是多少？

$\pi_1 : \ 3x-2y+5z=0$

$\pi_2 : \ 6x+3y-z-2=0$

查看解决方案

我们需要做的第一件事是找到每个平面的法向量。因此，垂直于平面的向量的 X、Y、Z 坐标分别等于其通式（或隐式）方程的参数 A、B 和 C：

$\vv{n}_1 = (3,-2,5)$

$\vv{n}_2 = (6,3,-1)$

一旦我们知道了每个平面的法向量，我们就可以用以下公式计算它们形成的角度：

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

因此，我们必须找到每个法向量的大小：

$\sqrt{3^2+(-2)^2+5^2}= \sqrt{9+4+25} = \sqrt{38}$

$\sqrt{6^2+3^2+(-1)^2}= \sqrt{36+9+1} = \sqrt{46}$

我们将每个变量的值代入公式：

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-2,5) \cdot (6,3,-1)\rvert}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{46} }$

我们计算角度的余弦：

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 6 + (-2)\cdot 3 +5 \cdot (-1) \rvert}{\sqrt{38}\cdot \sqrt{46} }=\cfrac{\lvert 18-6-5 \rvert}{\sqrt{1748}}= \cfrac{7}{41,81}=0,17$