矩阵定义和矩阵类型

6 7 月, 2023

在本文中，我们将解释什么是矩阵以及矩阵的维数是如何确定的。此外，您还将看到示例矩阵。最后，您会发现哪些是最重要的矩阵类型。

什么是矩阵？

命令矩阵

$m \times n$

是一组排列在

$m$

行和

$n$

列：

$\displaystyle A =\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\[1.1ex] a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\[1.1ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1.1ex] a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)$

矩阵示例

以下是不同矩阵的几个示例：

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 8 & 7 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

桌子的尺寸

数组的维数是

$\bm{m \times n}$

。金子

$m$

对应于矩阵的行数，并且

$n$

到列数。

例子：

维数矩阵

$2 \times 3:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\[1.1ex] -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

维数矩阵

$2 \times 1 :$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 \\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

矩阵的类型

下面我们解释最重要的矩阵类型的特征。

行矩阵

这个矩阵只有一行：

$\displaystyle\begin{pmatrix} 3 & 6 & -2 \end{pmatrix}$

列矩阵

这个矩阵只有一列：

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 \\[1.1ex] 4 \end{pmatrix}$

转置矩阵

转置或转置矩阵是将行改为列得到的矩阵。用矩阵右上角加“t”来表示

$\left(A^t \right) .$

例子：

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -1 & 5 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ A^t= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B= \begin{pmatrix} 1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ B^t= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \\[1.1ex] 4 & 2 \end{pmatrix}$

方阵

方阵是行数与列数相同的矩阵。

$(m=n ) .$

例如，3 阶方阵为：

$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & 6 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & -1 & 2 \end{array} \right)$

方阵的主对角线由从左上角到右下角的元素组成：

方阵的主对角线

方阵的次对角线对应于从左下角到右上角的元素：

方阵的次对角线

我们建议您查看方阵的所有属性，因为它们可能是最常用的矩阵类型，因此它们对于线性代数非常重要。

三角矩阵

三角矩阵是主对角线以上或以下的元素全部为0的矩阵。

三角矩阵分为两种：上三角矩阵，主对角线以下的元素为零；下三角矩阵，主对角线以上的元素为零。要完全理解它们之间的差异，您可以查看三角矩阵的其他示例。

上三角矩阵：

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 1 & 7 \\[1.1ex] 0 & 2 & 5 \\[1.1ex] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

下三角矩阵：

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

对角矩阵

对角矩阵是一个方阵，其中不在主对角线上的所有元素都为零。您可以在此链接中查看对角矩阵的属性和其他示例。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

虽然这些矩阵看起来很简单，因为它们包含很多0，但它们实际上对于数学来说非常重要。事实上，对角化矩阵有一个完整的过程，因此对角化矩阵非常重要。

标量矩阵

标量矩阵是一个对角矩阵，其中主对角线的所有元素都相等。如果您愿意，可以在此处查看标量矩阵的其他示例。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

单位矩阵或单位

单位矩阵是一个对角矩阵，其中主对角线的所有元素都等于1。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

与任何对角矩阵一样，它看起来是一种非常简单的矩阵。但不要被它的外观所迷惑，由于其属性，它是一个广泛使用的矩阵，例如它用于反转矩阵。我们建议您查看单位矩阵的属性以了解其用途。

零矩阵

零矩阵是所有元素都为0的矩阵：

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

正如你所看到的，这个矩阵一点也不复杂。但即使它看起来不像，它也有它的用途。您可以在空矩阵属性页面上查看它们的应用。

对称矩阵

对称矩阵是指主对角线为对称轴的矩阵。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 & 9 \\[1.1ex] -1 & 9 & 1 \end{pmatrix}$

由于对称矩阵的性质，对称矩阵转置的结果就是矩阵本身。

反对称矩阵

反对称矩阵是主对角线用零填充的矩阵，而且是反对称轴。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\[1.1ex] -4 & 0 & -3 \\[1.1ex] -2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

在以下链接中，您可以查看反对称矩阵的所有属性和更多示例。

现在您已经了解了表的类型，您可能想知道……这一切的意义何在？嗯，主要应用之一是矩阵运算，其中最重要的是乘法，您也可以在乘法矩阵页面上看到它是如何完成的。

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