如何计算矩阵加法和减法

在本页中,我们将了解如何进行矩阵加法和减法。您还有示例可以帮助您完全理解它并解决练习以便您可以练习。您还将发现矩阵加法的所有属性。

如何进行矩阵的加法和减法?

要计算两个矩阵的加法(或减法),必须将矩阵中占据相同位置的元素相加(或相减)。

例子:

2x2 矩阵的加法和减法、矩阵运算的示例

请注意,要对两个矩阵进行加法或减法,它们必须具有相同的维度。例如,以下矩阵无法相加,因为第一个是 2×2 矩阵,第二个是 3×2 矩阵:

\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 0 & 2 \end{pmatrix}  + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\[1.1ex] -2 & 4 \\[1.1ex] 7 & 1 \end{pmatrix} \ \longleftarrow \ \color{red}  \bm{\times}}

解决了矩阵加法和减法的练习

练习1

计算以下 2×2 矩阵的总和:

逐步解决 2x2 矩阵相加的练习

它是两个维度为 2×2 的方阵之和:

\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 1  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 2+2 & 3+1 \\[1.1ex] 4+3 & 1+(-1)  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{4} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{7} & \bm{0}  \end{pmatrix}

练习2

执行以下矩阵减法:

练习逐步解决矩阵减法、矩阵运算

它是两个维度为 3×2 的矩阵的减法:

\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 2  \\[1.1ex] 1 & 6 \\[1.1ex] -3 & 0  \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 6 \\[1.1ex] -3 & 1 \\[1.1ex]-2 & 5 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 5-4 & 2-6  \\[1.1ex] 1-(-3) & 6-1 \\[1.1ex] -3-(-2) & 0-5  \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} \bm{1}&  \bm{-4} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{5} \\[1.1ex] \bm{-1} & \bm{-5} \end{pmatrix}

练习3

求以下维度为 3×3 的矩阵和的结果:

练习逐步解决 3x3 矩阵的加法、矩阵运算

它是两个 3×3 阶方阵的和:

\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 \\[1.1ex] 0 & 3 & 2 \\[1.1ex] 5 & 1 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 & 5 \\[1.1ex] -3 & 4 & 1 \\[1.1ex] 1 & 7 & 8 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 4+2 & 1+0 & -2+5 \\[1.1ex] 0+(-3) & 3+4 & 2+1 \\[1.1ex] 5+1 & 1+7 & 6+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{6}&  \bm{1} & \bm{3} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{7} & \bm{3} \\[1.1ex] \bm{6} & \bm{8} & \bm{14} \end{pmatrix}

练习4

计算以下 2 阶方阵的加法和减法:

练习逐步解决 2x2 矩阵的加法和减法、矩阵运算

它是2阶方阵的加法和减法的结合运算:

\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 1 \\[1.1ex] -2 & 4  \end{pmatrix} +  \begin{pmatrix} 6 & -2 \\[1.1ex] 3 & -5  \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} -3 & 4 \\[1.1ex] 1 & -2  \end{pmatrix}

因此,首先我们将左侧的矩阵相加:

\displaystyle \begin{pmatrix} 11 & -1 \\[1.1ex] 1 & -1  \end{pmatrix}  -\begin{pmatrix} -3 & 4 \\[1.1ex] 1 & -2  \end{pmatrix}

然后我们计算矩阵的减法:

\displaystyle \begin{pmatrix} \bm{14} & \bm{-5} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{1}  \end{pmatrix}

练习5

求解以下矩阵加法和减法:

练习逐步解决 3x3 矩阵的加法和减法、矩阵运算

它是 3 阶方阵的减法和加法的组合运算:

\displaystyle \begin{pmatrix}5 & 3 & -1 \\[1.1ex] 6 & -4 & -2 \\[1.1ex] 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 & 2 & 6 \\[1.1ex]-1 & 5 & 0 \\[1.1ex] 2 & 4 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 & -1 & 5 \\[1.1ex] -3 & 1 & 4 \\[1.1ex] 6 & 0 & 3 \end{pmatrix}

首先,我们求解矩阵减法:

\displaystyle \begin{pmatrix}2 & 1 & -7 \\[1.1ex] 7 & -9 & -2 \\[1.1ex] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2 & -1 & 5 \\[1.1ex] -3 & 1 & 4 \\[1.1ex] 6 & 0 & 3 \end{pmatrix}

最后我们添加矩阵:

\displaystyle \begin{pmatrix} \bm{4} & \bm{0} & \bm{-2} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{-8} & \bm{2}  \\[1.1ex] \bm{6} & \bm{-1} & \bm{4} \end{pmatrix}

现在您已经了解了如何进行矩阵加法和减法,现在是了解如何进行矩阵乘法的好时机,这无疑是最重要的矩阵运算。您还可以找到已解决的分步矩阵乘法练习,以便您可以像本网站的所有页面一样进行练习。 😉

添加矩阵属性

矩阵加法具有以下特点:

  • 矩阵加法具有交换律

\displaystyle  A +B = B + A

因此,我们添加矩阵的顺序是相同的。为了演示这一点,我们将通过更改两个矩阵的顺序来添加它们,您将看到结果是如何相同的。

因此,我们继续按一定顺序添加两个矩阵:

\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & -1 \end{pmatrix}  +  \begin{pmatrix} 4 & 1 \\[1.1ex] 5 & 2  \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bm{5} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{7} & \bm{1}  \end{pmatrix}

请注意,如果我们颠倒矩阵相加的顺序,结果保持不变:

\displaystyle  \begin{pmatrix} 4 & 1 \\[1.1ex] 5 & 2  \end{pmatrix}  +  \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & -1 \end{pmatrix}=  \begin{pmatrix} \bm{5} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{7} & \bm{1}  \end{pmatrix}

  • 矩阵加法的另一个性质是相反元素的性质:

\displaystyle A + (-A) =0

换句话说,如果我们添加一个矩阵加上相同的矩阵,但其所有元素都改变了符号,则结果将是一个零矩阵:

\displaystyle  \begin{pmatrix} 4 & 1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 0 & 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 & -1 & 3 \\[1.1ex] -2 & 0 & -9 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} \bm{0} & \bm{0} & \bm{0} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{0} & \bm{0}  \end{pmatrix}

  • 矩阵加法还具有中性元素性质:

\displaystyle A + 0 =A

这个性质是最明显的,它指的是任何矩阵加上一个全零的矩阵都等价于同一个矩阵:

\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\[1.1ex] -3 & 4 & 9 \\[1.1ex] 1 & 12 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0  & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} \bm{2} & \bm{1} & \bm{5} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{4} & \bm{9} \\[1.1ex] \bm{1} & \bm{12} & \bm{6} \end{pmatrix}

  • 矩阵加法具有结合律:

\displaystyle\left( A + B \right) + C  =A +  \left(  B + C \right)

因此,我们添加矩阵的顺序是相同的。看下面的例子,我们将 3 个不同阶的矩阵相加,结果是一样的:

\displaystyle A =  \begin{pmatrix} 2  \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}  \qquad B = \begin{pmatrix} 4  \\[1.1ex] -1  \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} 3  \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}

\begin{aligned}\left( A + B \right) + C & =\left(  \begin{pmatrix} 2  \\[1.1ex] 1  \end{pmatrix}   +  \begin{pmatrix} 4  \\[1.1ex] -1  \end{pmatrix} \right) + \begin{pmatrix} 3  \\[1.1ex] 0  \end{pmatrix}  \\[2ex] & =   \begin{pmatrix} 6  \\[1.1ex] 0  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3  \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix} \\[2ex] & =\begin{pmatrix} \bm{9}  \\[1.1ex] \bm{0} \end{pmatrix} \end{aligned}

\begin{aligned} A +  \left(  B + C \right) & = \begin{pmatrix} 2  \\[1.1ex] 1  \end{pmatrix}  + \left( \begin{pmatrix} 4  \\[1.1ex] -1  \end{pmatrix}  +\begin{pmatrix} 3  \\[1.1ex] 0  \end{pmatrix} \right) \\[2ex] & =  \begin{pmatrix} 2  \\[1.1ex] 1  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7  \\[1.1ex] -1  \end{pmatrix} \\[2ex] & = \begin{pmatrix}  \bm{9}  \\[1.1ex] \bm{0}\end{pmatrix} \end{aligned}

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