直线和平面之间的角度

在这里您将了解如何计算直线和平面之间的角度。您还可以查看示例，并通过逐步解决直线和平面之间的角度的练习进行练习。

直线和平面之间的角度是多少？

直线与平面的夹角是直线与其在平面上的正交投影之间的夹角。

直线与平面之间的角度是该直线与垂直于该平面的矢量之间的角度的补角。因此，直线与平面之间的角度是根据直线的方向向量与平面的法线向量之间的角度来计算的。

直线与平面的夹角公式

要推导平面和直线之间的角度公式，您需要知道如何找到两个向量之间的角度。在链接页面上，您将找到说明以及逐步解决的示例和练习，因此，如果您不记得如何操作，我们建议您看一下。

因此，由于直线和平面之间的角度与所述直线的方向向量之间的角度互补

$(\vv{\text{v}}_r)$

以及该平面的法向矢量

$(\vv{n})$

，从两个向量之间的角度公式我们推导出直线和平面之间的角度相当于以下表达式：

$\displaystyle \text{sen}(\alpha)=\cos(90-\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{\text{v}}_r \cdot \vv{n} \rvert}{\lvert \vv{\text{v}}_r \rvert \cdot \lvert \vv{n} \rvert}$

因此，直线与平面之间的夹角公式为：

金子：

$\vv{\text{v}}_r$

是直线的直向量。
$\vv{n}$

是垂直于平面的向量。

计算直线和平面之间的角度的示例

为了让您了解如何解决此类问题，下面是计算直线和平面之间的角度的示例：

计算直线形成的角度
$r$

与飞机

$\pi.$

设他们的方程为：

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x= 3-t \\[1.7ex] y = 2+4t \\[1.7ex] z=-3t \end{cases}\qquad\qquad \pi : \ x-y+4z+5=0$

该直线以参数方程的形式表示，故其方向向量为：

$\vv{\text{v}}_r = (-1,4,-3)$

另一方面，平面以隐式（或一般）方程的形式定义，因此其法向量为：

$\vv{n} = (1,-1,4)$

因此，一旦我们知道了直线的方向向量和平面的法线向量，我们就可以应用直线和平面之间的角度的公式：

$\displaystyle \text{sen}(\alpha) =\cfrac{\lvert\vv{\text{v}}_r \cdot \vv{n}\rvert}{\lvert \vv{\text{v}}_r \rvert \cdot \lvert \vv{n} \rvert}$

我们将向量代入公式中：

$\displaystyle\text{sen}(\alpha) =\cfrac{\lvert(-1,4,-3) \cdot (1,-1,4)\rvert}{\sqrt{(-1)^2+4^2+(-3)^2} \cdot \sqrt{1^2+(-1)^2+4^2}}$

我们进行计算：

$\displaystyle \text{sen}(\alpha) =\cfrac{\lvert -1\cdot 1 +4 \cdot (-1) + (-3) \cdot 4\rvert}{\sqrt{26}\cdot \sqrt{18}}$

$\displaystyle \text{sen}(\alpha) = \cfrac{|-17|}{\sqrt{468}}$

$\displaystyle \text{sen}(\alpha) = \cfrac{17}{\sqrt{468}}$

$\displaystyle \text{sen}(\alpha)= 0,79$

最后，我们用计算器反转正弦值并找到角度值：

$\alpha = \text{sen}^{-1} (0,79) = \bm{51,80º}$

因此，直线和平面之间的角度约为 51.80°。

我们必须考虑到，如果我们得到 0° 的结果，这意味着直线和平面平行或者直线包含在平面内。如果角度等于 90°，则意味着直线和平面垂直。

解决了直线与平面的夹角问题

练习1

找出直线形成的角度

$r$

与飞机

$\pi.$

设他们的方程为：

$\displaystyle r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y+1}{-1} = \cfrac{z+3}{-3}$

$\displaystyle \pi : \ 3x+y+2z-1=0$

查看解决方案

直线表示为连续方程，故其方向向量为：

$\vv{\text{v}}_r = (2,-1,-3)$

另一方面，平面是隐式（或一般）方程的形式，因此其法向量为：

$\vv{n} = (3,1,2)$

因此，一旦我们知道了直线的方向向量和平面的法线向量，我们就可以使用直线和平面之间的角度的公式：

$\displaystyle \text{sen}(\alpha) =\cfrac{\lvert\vv{\text{v}}_r \cdot \vv{n}\rvert}{\lvert \vv{\text{v}}_r \rvert \cdot \lvert \vv{n} \rvert}$

$\displaystyle\text{sen}(\alpha) =\cfrac{\lvert(2,-1,-3) \cdot (3,1,2)\rvert}{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-3)^2} \cdot \sqrt{3^2+1^2+2^2}}$

$\displaystyle \text{sen}(\alpha) =\cfrac{\lvert 2\cdot 3 +(-1) \cdot 1 + (-3) \cdot 2\rvert}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{14}}$

$\displaystyle \text{sen}(\alpha) = \cfrac{|-1|}{14}$

$\displaystyle \text{sen}(\alpha) = \cfrac{1}{14}$

$\displaystyle \text{sen}(\alpha)= 0,07$

最后，我们反转正弦并找到角度值：

$\alpha = \text{sen}^{-1} (0,07) = \bm{4,10º}$

因此，直线与平面的夹角为4.10°。

练习2

确定直线形成的角度

$r$

与飞机

$\pi.$

设他们的方程为：

$\displaystyle r: \ \begin{cases} 3x-y+4z+1=0 \\[2ex] x+2y-2z+6=0 \end{cases}$

$\displaystyle \pi : \ -4x+2y-5=0$

查看解决方案

直线用其隐式（或一般）方程表示，因此需要通过计算垂直于确定直线的 2 个平面的向量的向量积来找到直线的方向向量：

$\displaystyle\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 3& -1 & 4 \\[1.1ex] 1 &2&-2 \end{vmatrix} = -6\vv{i}+10\vv{j}+7\vv{k}$

$\vv{\text{v}}_r = (-6,10,7)$

另一方面，垂直于平面的矢量为：

$\vv{n} = (-4,2,0)$

因此，一旦我们知道了直线的方向向量和平面的法线向量，我们就可以使用直线和平面之间的角度的公式：

$\displaystyle \text{sen}(\alpha) =\cfrac{\lvert\vv{\text{v}}_r \cdot \vv{n}\rvert}{\lvert \vv{\text{v}}_r \rvert \cdot \lvert \vv{n} \rvert}$

$\displaystyle\text{sen}(\alpha) =\cfrac{\lvert(-6,10,7) \cdot (-4,2,0)\rvert}{\sqrt{(-6)^2+10^2+7^2} \cdot \sqrt{(-4)^2+2^2+0^2}}$

$\displaystyle \text{sen}(\alpha) =\cfrac{\lvert -6\cdot (-4) +10 \cdot 2 + 7 \cdot 0\rvert}{\sqrt{185}\cdot \sqrt{20}}$

$\displaystyle \text{sen}(\alpha) = \cfrac{44}{\sqrt{3700}}$

$\displaystyle \text{sen}(\alpha)= 0,72$

最后，我们反转正弦并找到角度值：

$\alpha = \text{sen}^{-1} (0,72) = \bm{46,33º}$

因此，直线与平面的夹角为46.33°。

练习3

使用直线与平面之间的角度公式求出

$k$

为权利所必需的

$r$

和飞机

$\pi$

是平行的。

$\displaystyle r: \ (x,y,z) = (2,0-1)+t(4,-1,3)$

$\displaystyle \pi : \ 4x+3y+kz+7=0$

查看解决方案

首先，将直线表示为向量方程，故其方向向量为：

$\vv{\text{v}}_r = (4,-1,3)$

另一方面，平面是一般方程的形式，所以它的法向量为：

$\vv{n} = (4,3,k)$

因此，为了使两个几何元素平行，它们之间的角度必须为零。因此，直线与平面的夹角公式为：

$\displaystyle \text{sen}(\alpha) =\cfrac{\lvert\vv{\text{v}}_r \cdot \vv{n}\rvert}{\lvert \vv{\text{v}}_r \rvert \cdot \lvert \vv{n} \rvert}$

$\displaystyle \text{sen}(0º) =\cfrac{\lvert\vv{\text{v}}_r \cdot \vv{n}\rvert}{\lvert \vv{\text{v}}_r \rvert \cdot \lvert \vv{n} \rvert}$

$\displaystyle 0 =\cfrac{\lvert\vv{\text{v}}_r \cdot \vv{n}\rvert}{\lvert \vv{\text{v}}_r \rvert \cdot \lvert \vv{n} \rvert}$

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{v}}_r \rvert \cdot \lvert \vv{n} \rvert =\lvert\vv{\text{v}}_r \cdot \vv{n}\rvert$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{v}}_r \cdot \vv{n}$

因此，线的方向向量和法线向量之间的点积必须为零。从这个方程我们可以确定未知数的值

$k:$

$\displaystyle 0 =(4,-1,3) \cdot (4,3,k)$

$\displaystyle 0 =4\cdot 4 -1\cdot 3 +3 \cdot k$

$\displaystyle 0 =16 -3 +3 k$

$\displaystyle -3k =13$

$\displaystyle k =\cfrac{13}{-3}$

$\displaystyle \bm{k =-}\mathbf{\cfrac{13}{3}}$

最后，如果您发现本文有帮助，您可能也对如何找到两个平面之间的角度感兴趣。在链接页面上，您将找到非常详细的解释以及计算两个不同平面之间的角度所需的公式，此外，您将能够看到逐步解决的示例和练习，以便能够练习和理解它是如何完美完成的。