▷ 链式法则（导数）：已解决的练习

在这里，您将了解什么是链式法则以及如何使用链式法则导出函数。此外，您将能够看到使用链式法则求解导数的几个示例，甚至可以练习应用链式法则的导数的分步求解练习。

什么是链式法则？

链式法则是用于推导复合函数的公式。链式法则指出复合函数f(g(x))的导数等于导数f'(g(x))乘以导数g'(x) 。

➤参见： 复合函数

非正式地，链式法则通常被认为是对函数进行微分，然后将其乘以函数中的值。

链式法则公式使我们能够更轻松地微分复合函数，因为如果我们要使用导数定义的极限来微分函数的组合，我们将不得不进行大量计算。

另一方面，必须考虑到该规则仅用于求复合函数的导数，而不用于求任何类型的函数或函数运算的导数。例如，一个非常常见的错误是错误地将链式法则应用到功能性产品中，如下所示：

$\ln(x)\cdot x^2$

❌

仅当一个函数包含在另一个函数中时，才能使用链式法则。

$\ln(x^2)$

✅

具有链式法则的导数示例

给出了链式法则的定义，我们将以链式法则为例推导出几个函数。请记住，如果在示例中您不明白如何使用链式法则导出函数，您可以在评论中询问我们！

实施例1

在此示例中，我们将使用链式法则导出 x 平方的自然对数：

$f(x)=\ln(x^2)$

自然对数的导数等于其自变量的 1 倍，因此导数

$f'\bigl(g(x)\bigr)$

是：

$f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{u}$

$f\bigl(g(x)\bigr)=\ln(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=\cfrac{1}{x^2}$

另一方面，x 的 2 次方导数为 2x：

$g(x)=x^2\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=2x$

最后，我们应用链式法则计算整个函数的导数。复合函数的导数将是我们刚刚找到的两个导数的乘积：

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black}z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$f(x)=\ln(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x^2}\cdot 2x = \cfrac{2x}{x^2}=\cfrac{2}{x}$

实施例2

在第二个示例中，我们将基于多项式导出势函数：

$f(x)=\left(3x^2+4x-5\right)^3$

为了导出幂，我们需要将原始指数放在它的前面，并从指数中减去一个单位，因此不应用链式法则的势函数的导数将是：

$f\bigl(g(x)\bigr)=\left(3x^2+4x-5\right)^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=3\left(3x^2+4x-5\right)^2$

现在我们推导括号里的内容：

$g(x)=3x^2+4x-5\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=6x+4$

最后，我们使用链式法则来求解整个函数的导数，这将是之前计算的两个导数的乘积：

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black}z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$f(x)=\left(3x^2+4x-5\right)^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=3\left(3x^2+4x-5\right)^2\cdot (6x+4)$

实施例3

在这种情况下，我们将求解 x 的三次方加上 7x 的正弦导数：

$f(x)=\text{sen}(x^3+7x)$

事实上，它是一个函数的复合，因为我们在正弦函数中有函数 x ³ +7x，因此我们可以使用链式法则来求复合函数的导数。

一方面，正弦的导数是余弦，因此外函数的导数将是余弦，其参数与正弦相同：

$f\bigl(g(x)\bigr)=\text{sen}(x^3+7x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=\text{cos}(x^3+7x)$

另一方面，x ³ +7x 的导数是 3x ² +7。

$g(x)=x^3+7x\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=3x^2+7$

因此，复合函数的导数是两个导数的乘积：

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black}z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$f(x)=\text{sen}(x^3+7x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^3+7x)\cdot (3x^2+7)$

用链式法则解决导数练习

练习1

使用链式法则导出以下复合函数：

$f(x)=\left(5x^2-6x\right)^3$

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外函数是势函数，因此要计算其导数，必须应用以下公式：

$f\bigl(g(x)\bigr)=a\bigl(g(x)\bigr)^n \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)=n\cdot a\bigl(g(x)\bigr)^{n-1}$

$f\bigl(g(x)\bigr)=\left(5x^2-6x\right)^3\ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)= 3\left(5x^2-6x\right)^2$

然后我们计算里面函数的导数。它是幂的减法，因此要计算其导数，您必须将以下公式应用于其每一项：

$f(x)=ax^n \ \longrightarrow \ f'(x)=n\cdot ax^{n-1}$

$g(x)=5x^2-6x\ \longrightarrow$

$g'(x)=2\cdot 5x^1-1 \cdot 6 x^0 =10x-6$

简而言之，复合函数的导数是找到的两个导数的乘积：

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$f(x)=\left(5x^2-6x\right)^3 \ \longrightarrow \ \bm{f'(x)= 3\left(5x^2-6x\right)^2\cdot (10x-6)}$

练习2

使用链式法则求解以下复合函数的导数：

$f(x)=-3\left(5x^5+9x^3\right)^4$

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首先，我们求外函数的导数：

$\begin{aligned} f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr) & =4 \cdot ( -3) \left(5x^5+9x^3\right)^3 \\[1.5ex]&=-12\left(5x^5+9x^3\right)^3 \end{aligned}$

现在我们求解内部函数的导数：

$g(x)=5x^5+9x^3\ \longrightarrow \ g'(x)=25x^4+27x^2$

因此整个函数的导数为：

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$f(x)=-3\left(5x^5+9x^3\right)^4 \ \longrightarrow \ \bm{f'(x)=-12\left(5x^5+9x^3\right)^3\cdot \left(25x^4+27x^2\right)}$

练习3

使用链式法则计算以下函数组合的导数：

$f(x)=e^{2x^3}$

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它是一个指数函数，因此要计算其导数，必须应用以下公式：

$f(x)=e^{x} \ \longrightarrow \ f'(x)=e^{x}$

$f\bigl(g(x)\bigr)=e^{2x^3} \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)= e^{2x^3}$

我们还将函数与函数的指数区分开来：

$g(x)=2x^3 \ \longrightarrow \ g'(x)=6x^2$

我们使用链式法则求整数复合函数的导数：

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$f(x)=e^{2x^3} \ \longrightarrow \ \bm{f'(x)= e^{2x^3}\cdot 6x^2}$

练习4

使用链式法则求以下复合函数的导数：

$f(x)=\sqrt[3]{\text{sen}(x) +x }$

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这是函数的组合，因为无理函数的参数中有一个正弦函数和一个线性函数。所以我们首先计算根的导数：

$f(x)=\sqrt[n]{x} \ \longrightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$

$f\bigl(g(x)\bigr)=\sqrt[3]{\text{sen}(x) +x } \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)= \cfrac{1}{3\sqrt[3]{\bigl(\text{sen}(x) +x\bigr)^2 }}$

现在我们从激进派中得出这个论点。它是函数的和，因此导数将是每一项的导数之和：

$g(x)=\text{sen}(x) +x \ \longrightarrow \ g'(x)=\cos(x) + 1$

因此整个函数的导数等于两个计算导数的乘积：

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$\begin{aligned}f(x)=\sqrt[3]{\text{sen}(x)+x} \ \longrightarrow \ f'(x)& = \cfrac{1}{3\sqrt[3]{\bigl(\text{sen}(x) +x\bigr)^2 }} \cdot \bigl(\cos(x) + 1 \bigr)\\[1.5ex]&=\cfrac{\bm{\cos(x) + 1}}{\bm{3\sqrt[3]{\bigl(\mathbf{sen}(x) +x\bigr)^2} }}\end{aligned}$

练习5

使用链式法则导出以下函数组合：

$f(x)=3^{x^2+5}$

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要应用链式法则，您必须求幂和多项式的导数，然后将它们相乘。因此，我们使用相应的公式得出功率：

$f(x)=a^x \ \longrightarrow \ f'(x)=a^x\cdot \ln (a)$

$f\bigl(g(x)\bigr)=3^{x^2+5} \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)= 3^{x^2+5}\cdot \ln(3)$

其次，我们从指数导出多项式函数：

$g(x)=x^2+5 \ \longrightarrow \ g'(x)=2x$

而链式法则告诉我们，整个函数的导数就是我们刚刚找到的导数的乘积：

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$f(x)=3^{x^2+5} \ \longrightarrow \ \bm{f'(x)= 3^{x^2+5}\cdot \ln(3) \cdot 2x}$

练习6

$f(x)=\ln \bigl(4x^2 \cdot \cos(x) \bigr)$

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显然，这个问题中的函数是复合函数，因为在自然对数的参数中，我们有两种不同类型函数的乘积。所以我们首先对对数求导：

$f(x)=\ln(x) \ \longrightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{x}$

$f\bigl(g(x)\bigr)=\ln \bigl(4x^2 \cdot \cos(x) \bigr) \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)= \cfrac{1}{4x^2 \cdot \cos(x) }$

其次，我们从对数参数导出函数。这是两个函数的乘法，因此必须使用以下公式进行推导：

$z(x)=f(x) \cdot g(x) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x)$

$\begin{aligned}g(x)=4x^2 \cdot \cos(x) \ \longrightarrow \ g'(x) & = 8x\cdot \cos(x) + 4x^2 \cdot \bigl(- \text{sen}(x)\bigr) \\[2ex] & = 8x\cdot \cos(x) - 4x^2 \cdot \text{sen}(x)\end{aligned}$

因此，根据链式法则，整个函数的导数将是两个导数的乘积：

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$\begin{aligned}f'(x)&= \cfrac{1}{4x^2 \cdot \cos(x) } \cdot \bigl( 8x\cdot \cos(x) - 4x^2 \cdot \text{sen}(x) \bigr)\\[1.5ex]&=\cfrac{8x\cdot \cos(x) - 4x^2 \cdot\text{sen}(x)}{4x^2 \cdot \cos(x)}\\[1.5ex]&=\cfrac{\bm{2\cos(x) - x \cdot }\mathbf{sen}\bm{(x)}}{\bm{x \cdot \cos(x) }}\end{aligned}$

练习7

使用链式法则求解以下函数的导数：

$f(x)=\log_9 (e^{x^2}-6x^7)$

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这是一个函数的组合，因此我们将对数及其参数分别微分，然后乘以导数。

因此，首先我们对以 9 为底的对数求微分：

$f(x)=\log_a (x) \ \longrightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot \ln (a)}$

$f\bigl(g(x)\bigr)=\log_9 (e^{x^2}-6x^7) \ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)=\cfrac{1}{\bigl(e^{x^2}-6x^7\bigr)\cdot \ln(9)}$

现在我们计算对数参数的导数。请注意，数字 e 的参数中有一个函数，即它是一个复合函数，因此我们还需要应用链式法则来推导该函数：

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$h(x)=e^{x^2} \ \longrightarrow \ h'(x)=e^{x^2}\cdot \bigl(x^2\bigr)' =e^{x^2}\cdot 2x$

因此，对数整数参数的导数将是：

$g(x)= e^{x^2}-6x^7\ \longrightarrow \ g'(x)=e^{x^2}\cdot 2x - 42x^6$

最后，整个函数的导数将是 f'(g(x)) 和 g'(x) 的乘积：

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{1}{\bigl(e^{x^2}-6x^7\bigr)\cdot \ln(9)} \cdot \bigl(e^{x^2}\cdot 2x - 42x^6\bigr)\\[1.5ex]&=\cfrac{\bm{e^{x^2}\cdot 2x - 42x^6}}{\bm{\bigl(e^{x^2}-6x^7\bigr)\cdot \ln(9)}}\end{aligned}$

练习8

使用链式法则导出以下复合函数：

$f(x)=\text{sen}\biggl( \Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr)^2 \biggr)$

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在本练习中，我们有多个函数的组合，因此我们必须多次应用链式法则。我们首先从正弦导出三角函数，其导数是余弦：

$f\bigl(g(x)\bigr)=\text{sen}\biggl( \Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr)^2 \biggr)\ \longrightarrow \ f'\bigl(g(x)\bigr)=\cos\biggl( \Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr)^2 \biggr)$

现在我们使用链式法则计算正弦参数的导数：

$z(x)=f\bigl(g(x)\bigr) \ \longrightarrow \ z'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

$\begin{aligned} g(x)= \Bigl( 9x^5 + \cos(x) \Bigr)^2 \cdot g'(x) &= 2\Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr) \cdot \Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr)' \\[1.5ex]&=2\Bigl(9x^5 + \cos(x) \Bigr) \cdot \Bigl(45x^4-\text{sen}(x)\Bigr)\end{aligned}$