正弦函数

4 7 月, 2023

在此页面上，您将找到有关正弦函数的所有内容：它是什么、它的公式是什么、如何在图形中表示它、此类函数的特征、幅度、周期等。此外，您将能够看到正弦函数的不同示例，以充分理解该概念。他甚至解释了正弦定理以及正弦函数与其他三角比率的关系。

正弦函数的示例

正弦函数公式

角度α的正弦函数是一个三角函数，其公式定义为直角三角形（直角三角形）的对边与斜边之比。

正弦函数的公式是什么

正弦是三角函数

这种类型的数学函数通常用缩写“sin”或“sin”（来自拉丁语“ sinus ”）来书写。另外，它也可以称为正弦函数、正弦函数或正弦函数。

正弦函数是最著名的三角函数之一，另外还有角度的余弦和正切函数。

正弦函数的特征值

有些角度经常重复，因此可以方便地知道这些角度处的正弦函数值：

正弦函数的特征值或典型值

因此，正弦函数的符号取决于角度所在的象限：如果角度位于第一或第二象限，则正弦值为正，反之，如果角度落在第三或第四象限，正弦将为负。

正弦象限函数的符号

正弦函数的图形表示

利用我们在上一节中看到的值表，我们可以绘制正弦函数的图形。因此，当我们绘制正弦函数的图像时，我们得到：

正弦函数图形的示例

从图中可以看出，正弦函数图像的值总是在+1和-1之间，也就是说，它的顶部以+1为界，底部以-1为界。此外，这些值每 360 度（2π 弧度）重复一次，因此它是一个周期为 360°的周期函数。

另一方面，在这张图中，我们完全意识到正弦函数是奇数，因为它的相反元素具有相反的图像，或者换句话说，它相对于原点（0,0）对称。例如，90° 的正弦值为 1，-90° 的正弦值为 -1。

正弦函数的性质

正弦函数具有以下特点：

正弦函数的域都是实数，因为如图所示，该函数对于自变量 x 的任何值都存在。

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

正弦函数的路径或范围是从负 1 到正 1（包括两者）。

$\text{Im } f= [-1,1]$

它是一个周期为 2π 的连续奇函数。

$\displaystyle \text{sen}(-x) =- \text{sen }x$

此类三角函数与 y 轴（Y 轴）的单个交点位于点 (0,0)。

$(0,0)$

相反，它定期在 pi 的几个坐标处截取横坐标（X 轴）。

$(k\pi,0) \qquad k \in \mathbb{Z}$

正弦函数的最大值出现在以下情况：

$x = \cfrac{\pi}{2} +2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z}$

相反，正弦函数的最小值出现在：

$x = \cfrac{3\pi}{2} +2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z}$

正弦函数的导数是余弦：

$f(x)=\text{sen } x \ \longrightarrow \ f'(x)= \text{cos } x$

最后，正弦函数的积分是余弦改变符号：

$\displaystyle \int \text{sen } x \ dx= -\text{cos } x + C$

正弦函数的周期和幅度

正如我们在他的图中看到的，正弦函数是一个周期函数，也就是说，它的值根据频率重复。此外，其振荡的最大值和最小值取决于其振幅。因此，决定正弦函数的两个特征是其周期和幅度：

$\displaystyle f(x)= A\text{sen}(wx)$

正弦函数的周期是图形重复的两点之间的距离，由以下公式计算：

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{2\pi}{w}$

正弦函数的振幅相当于正弦项前面的系数。

$\displaystyle \text{Amplitud}=A$

下面您可以看到一张图表，显示了更改周期或幅度的影响：

正弦函数的示例

在绿色所示的函数中，我们可以看到，通过将幅度加倍，函数从 +2 变为 -2，而不是 +1 变为 -1。另一方面，在红色显示的函数中，您可以看到它的速度是“规范”正弦函数的两倍，因为它的周期已减半。

正弦定理

尽管正弦通常应用于直角三角形，但还有一个适用于任何类型三角形的定理：正弦定理。

正弦定理将任何三角形的边和角联系起来，如下所示：

正弦定理

$\cfrac{a}{\text{sen }\alpha} = \cfrac{b}{\text{sen }\beta} = \cfrac{c}{\text{sen }\gamma}$

正弦函数与其他三角比率的关系

下面您将找到三角学中最重要的三角比率的正弦关系。

余弦比

余弦函数的图形与正弦曲线等效，但发生了偏移
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$

到左边，因此这两个函数可以通过以下表达式关联：

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \text{cos}\left(\alpha - \frac{\pi}{2} \right)$

您还可以将正弦和余弦与三角函数基本恒等式联系起来：

$\displaystyle \text{sen}^2\alpha + \text{cos}^2\alpha=1$

与切线的关系

虽然证明起来很复杂，但正弦只能根据正切来表示：

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \pm \cfrac{\text{tg }\alpha }{\sqrt{1+\text{tg}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$

与余割的关系

正弦和余割是乘法逆元：

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \cfrac{1}{\text{csc }\alpha}$

与割线的关系

可以擦除正弦，使其仅取决于正割：

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \cfrac{\sqrt{\text{sec }\alpha -1 } }{\text{sec }\alpha}$

与余切的关系

角度的正弦和余切之间的关系如下：

$\displaystyle \text{sen }\alpha = \cfrac{1}{\sqrt{1+\text{cot}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$

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