切线方程 -

在本文中，我们将了解如何找到曲线的切线方程。此外，您还可以通过不同难度级别的已解决练习进行训练。

函数在一点的切线方程

函数 f(x) 在 x=x ₀处的切线方程为：

$y -y_0= m(x-x_0)$

其中点P(x ₀ ,y ₀ )是切线与函数重合的点。而切线的斜率m等于曲线在x ₀点处的导数，即m=f'(x ₀ )。

在上图中你可以看到一条曲线

$f(x)$

用与函数相切的蓝色线和橙色线表示

$f(x)$

关于

$x=x_0$

，因为它们只有这一点的共同点。那么，这条切线的方程是

$y -y_0= m(x-x_0)$

，其斜率为

$m=f'(x_0)$

。

如何求正切方程

要找到函数在一点的切线方程，您需要执行以下操作：

通过计算函数在切点处的导数来求出切线的斜率。
确定切线上的一点。
使用计算出的斜率和切线点求出切线方程。

曲线切线方程示例

了解了正切方程的理论后，让我们看看如何通过逐步求解示例来计算正切方程：

计算曲线的切线方程
$f(x)=x^2+x$

关于

$x=1$

。

我们知道，正切方程总是以下形式：

$y -y_0= m(x-x_0)$

首先要做的是计算直线的斜率。因此，切线的斜率，

$m$

，将是曲线在切点 x=1 处的导数值，即

$m=f'(1).$

因此，我们对函数进行微分，然后计算

$f'(1):$

$f(x)=x^2+x \quad \longrightarrow \quad f'(x)=2x+1$

$f'(1)= 2\cdot 1+1=2+1=3$

$m=f'(1)=3$

一旦我们知道了

$m$

，我们需要找到一个点

$(x_0,y_0)$

的切线来完成切线方程。

切线方程和曲线方程总是有一个公共点，在本例中是

$x=1$

。因此，就像曲线

$f(x)$

通过这个点，我们可以通过计算找到该点的另一个分量

$f(1):$

$f(x)=x^2+x$

$f(1)=1^2+1=2$

因此切点为：

$P(1,2)$

曲线和切线都经过该点，所以我们也可以用它来求切线的方程。

剩下的就是将找到的斜率和切线点的值代入其方程：

$\left. \begin{array}{c} y -y_0= m(x-x_0) \\[3ex] m=3 \qquad P(1,2) \end{array} \right\} \longrightarrow \ y -2= 3(x-1)$

简而言之，正切方程为：

$\bm{y-2=3(x-1)}$

您还可以用直线的显式方程来表达切线的方程：

$\bm{y=3x-1}$

下面你可以看到代表的曲线

$f(x)=x^2+x$

和它的切线

$x=1,$

$y-2=3(x-1):$

正如你所看到的，曲线

$f(x)=x^2+x$

和切线

$y-2=3(x-1)$

他们只有一个共同点

$(1,2)$

，正如我们计算的那样。

已解答的正切方程练习

练习1

计算曲线的切线方程

$f(x)=2x^2-4x+3$

关于

$x=2 .$

查看解决方案

正切方程始终采用以下形式：

$y-y_0=m(x-x_0)$

步骤一：计算切线的斜率

斜率m是曲线在切点处的导数值。因此，在这种情况下

$m = f'(2):$

$f(x)=2x^2-4x+3 \ \longrightarrow \ f'(x)= 4x-4$

$f'(2)= 4\cdot 2-4=8-4=4$

$m=f'(2)=4$

第二步：找到切线上的点

切线方程和曲线方程总是有一个公共点，在本例中为

$x=2$

。因此，就像曲线

$f(x)$

通过这个点，我们可以通过计算找到该点的另一个分量

$f(2):$

$f(x)=2x^2-4x+3$

$f(2)=2\cdot 2^2-4\cdot 2+3 =2 \cdot 4 -8 +3 = 3$

因此，曲线和切线都经过的点就是该点

$(2,3).$

第三步：写出正切方程

剩下的就是将找到的斜率和切线点的值代入其方程：

$\left. \begin{array}{c} y -y_0= m(x-x_0) \\[3ex] m=4 \qquad P(2,3) \end{array} \right\} \longrightarrow \ y -3= 4(x-2)$

因此，正切方程为：

$\bm{y -3= 4(x-2)}$

练习2

计算曲线的切线方程

$\displaystyle f(x)=-3x^2+2x$

在坐标原点。

查看解决方案

坐标原点指的是该点

$(0,0).$

因此，我们必须计算函数在该点的正切值

$(0,0) .$

首先，我们通过计算坐标原点处的导数来确定切线的斜率值：

$f(x)=-3x^2+2x \ \longrightarrow \ f'(x)= -6x+2$

$f'(0)= -6\cdot 0+2=2$

$m=f'(0)=2$

在这种情况下，我们已经知道切线经过的点。因为该语句告诉我们直线必须在坐标原点处与曲线相切，也就是说在该点

$(0,0).$

所以曲线和切线共有的点就是点

$(0,0).$

最后，只需将找到的斜率和切线点的值代入方程即可：

$\left. \begin{array}{c} y -y_0= m(x-x_0) \\[3ex] m=2 \qquad P(0,0) \end{array} \right\} \longrightarrow \ y -0= 2(x-0)$

综上，正切方程为：

$y -0= 2(x-0)$

$\bm{y = 2x}$

练习3

计算曲线的切线

$f(x)=x^2-2x-1$

与右边平行

$y-4x-6=0$

。

查看解决方案

在这个问题中，我们被告知切线必须平行于直线

$y-4x-6=0 .$

如果两条线具有相同的斜率，则它们是平行的。因此，切线必须具有与直线相同的斜率

$y-4x-6=0.$

这意味着我们需要找到直线的斜率

$y-4x-6=0 .$

为此，我们清除变量并：

$y-4x-6=0 \ \longrightarrow \ y =4x+6$

所以直线的斜率

$y=4x+5$

是 4，因为当 y 明确时，直线的斜率是 x 的乘积。

因此，切线的斜率也必须为 4，因为要使它们平行，它们必须具有相同的斜率。

$m=4$

在这种情况下，它们不会告诉我们曲线和切线之间的切点。但我们知道曲线在切点处的导数等于切线的斜率，即

$m=f'(x_0)$

。那么我们如何知道的价值

$m$

，我们可以从方程中找到 x ₀

$m=f'(x_0):$

为此，我们首先计算

$f(x):$

$f(x)= x^2-2x-1 \ \longrightarrow \ f'(x)=2x-2$

现在我们解决

$m=f'(x_0)$

知道

$m = 4 :$

$m =f'(x_0)$

$4 =2(x_0)-2$

$4+2 =2x_0$

$6 =2x_0$

$\cfrac{6}{2} =x_0$

$3=x_0$

一旦我们知道了该点的x坐标，我们就可以通过计算找到该点的另一个坐标

$f(3):$

$f(3)=3^2-2\cdot 3-1= 9-6-1=2$

因此，曲线和切线都经过的点就是该点

$(3,2).$

剩下的就是将找到的斜率和切线点的值代入其方程：

$\left. \begin{array}{c} y -y_0= m(x-x_0) \\[3ex] m=4 \qquad P(3,2) \end{array} \right\} \longrightarrow \ y -2= 4(x-3)$

正切方程为：

$\bm{y -2=4(x-3)}$

练习4

计算曲线的切线

$f(x)=2x^2+5x+1$

与 X 轴形成 45° 角。

查看解决方案

问题陈述告诉我们切线必须与 X 轴形成 45° 角。在这些情况下，必须应用以下公式来计算斜率值：

$m = \text{tg}\left(\alpha\right)$

$m = \text{tg}\left(45^{\text{o}}\right) = 1$

该语句没有指定曲线和切线之间的切点。但我们知道，曲线在切点处的导数就相当于切线的斜率，即

$m=f'(x_0)$

。因此，我们可以通过求解方程来计算 x ₀

$m=f'(x_0):$

为此，我们首先计算

$f(x):$

$f(x)=2x^2+5x+1\ \longrightarrow \ f'(x)=4x+5$

现在我们解决

$m=f'(x_0)$

知道

$m = 1 :$

$m =f'(x_0)$

$1 =4(x_0)+5$

$1-5 =4x_0$

$-4 =4x_0$

$\cfrac{-4}{4} =x_0$

$-1=x_0$

一旦我们知道了该点的x坐标，我们就可以通过计算找到该点的另一个坐标

$f(-1):$

$f(-1)=2(-1)^2+5(-1)+1=2\cdot 1 -5 + 1 = -2$

因此，曲线和切线都经过的点就是该点

$(-1,-2).$

剩下的就是将找到的斜率和切线点的值代入其方程：

$\left. \begin{array}{c} y -y_0= m(x-x_0) \\[3ex] m=1 \qquad P(-1,-2) \end{array} \right\} \longrightarrow \ y -(-2)= 1(x-(-1))$

最后，我们进行运算来求正切方程：

$y -(-2)=1(x-(-1))$

$y +2=1(x+1)$

$\bm{y + 2=x+1}$

函数在一点的切线方程

如何求正切方程

曲线切线方程示例

已解答的正切方程练习

练习1

练习2

练习3

练习4

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