垂直或正交向量

在此页面上，您将找到有关垂直（或正交）向量的所有内容：它们是什么，当两个向量正交时，如何找到垂直于另一个向量的向量，垂直向量的属性，…此外，您将能够看到垂直或正交向量的几个示例和已解决的练习。

什么是两个垂直或正交向量？

在数学中，当两个向量彼此形成直角 (90°) 时，它们就是正交（或垂直）。

在下图中，您可以看到两个垂直的向量：

另一方面，两个向量的垂直度仅取决于它们的方向，而不取决于它们的模（或大小），或者显然，取决于它们的方向。也就是说，如果两个向量成 90 度角，则无论它们的长度是否相同，它们都是垂直的。

如何知道两个向量是正交还是垂直？

正如我们刚刚看到的，从图形上很容易看出两个向量是否垂直。但是，您也可以确定两个向量是否正交，而无需绘制它们：

从数值上来说，当两个向量的点积为零 (0) 时，它们就是正交或垂直的。

例如，我们将显示以下两个向量是垂直的，而无需绘制它们：

$\vv{\text{u}}=(3,2) \qquad\vv{\text{v}}=(-2,3)$

为了检查这些向量是否垂直（或正交），我们应用标量积公式：

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}&=(3,2)\cdot (-2,3) \\[1.5ex]&=3\cdot (-2) + 2 \cdot 3 \\[1.5ex] & = -6+6 \\[1.5ex] & =\bm{0} \end{aligned}$

两个向量的点积结果为零，因此这是两个彼此正交（或垂直）的向量。

$\vv{\text{u}}\bm{\perp} \vv{\text{v}}$

请注意，两个向量用符号表示为垂直

$\bm{\perp}}.$

因此，两个垂直向量之间的点积为零。然而，两个向量的向量积（向量之间的另一种乘法）给出相反的结果：一个向量垂直于另外两个向量。因此，了解如何区分这两种类型的运算非常重要，您可以在叉积的属性中看到它们之间的差异。

如何计算与另一个向量垂直或正交的向量？

计算平面（在 R2 中）中垂直于另一个向量的最简单方法是将向量的两个坐标交错，并将符号更改为 1。

为了获得空间中垂直于另一个的向量（在 R3 中），必须将两个坐标相互插入，然后更改其中一个坐标的符号，最后将坐标设置为零。

这样您就可以看到计算一个正交向量与另一个正交向量时的差异，具体取决于它们是否具有 2 个或 3 个坐标，我们将使用每种类型的向量来解决一个练习。

在笛卡尔平面中找到垂直或正交向量

确定垂直于以下二维向量的向量：

$\vv{\text{v}}=(4,1)$

由于它是一个只有两个分量的向量，为了获得垂直向量，需要交替其分量并对其中一个分量取反：

$\vv{\mathbf{u}}\bm{=(-1,4)}$

我们可以从点积公式验证这些确实是垂直向量：

$\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}=(4,1)\cdot (-1,4) =0$

$\vv{\text{v}}\bm{\perp} \vv{\text{u}}$

确定笛卡尔空间中的垂直或正交向量

计算与以下三维向量正交的向量：

$\vv{\text{v}}=(2,3,-1)$

在这种情况下，我们有一个三分量向量，因此要获得垂直向量，我们需要交替其两个分量，更改其中一个分量的符号并将剩余坐标转换为零：

$\vv{\mathbf{u}}\bm{=(3,-2,0)}$

我们可以用标量积公式检查这些确实是正交向量：

$\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}=(2,3,-1)\cdot (3,-2,0) =0$

$\vv{\text{v}}\bm{\perp} \vv{\text{u}}$

垂直和正交向量的性质

垂直向量具有以下特征：

对称关系：如果一个向量垂直于另一个向量，则该向量也垂直于第一个向量。

$\vv{\text{u}} \bm{\perp} \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{v}} \bm{\perp} \vv{\text{u}}$

无自反性质：显然，没有向量可以垂直于自身。

$\vv{\text{v}} \ \cancel{\bm{\perp}}} \ \vv{\text{v}}$

在欧几里得几何（R2 中）中，垂直于第三个向量的任何一对向量都必须平行。也就是说，如果一个向量垂直于另一个向量，并且该向量也垂直于第三个向量，则第一个向量和最后一个向量是平行的。这是由于欧几里得第五公设。

另一方面，您还应该知道，由于这些特性，可以使用开瓶器规则。这种技术可以很容易地计算一种向量运算，如果没有这个规则，将需要很长时间才能解决。您可以通过单击开瓶器规则的解释来了解这是什么。

与垂直或正交向量相关的概念

有两种非常接近垂直向量的向量：法向量和正交向量。尽管它们彼此相关，但我们希望澄清它们的不同之处，以避免任何可能的混淆。

法向量是垂直于平面的向量。因此，它也可以包含在矢量正交性的概念中，但在这种情况下，它垂直于平面而不是另一个矢量。

另一方面，两个正交向量是两个相互正交的向量，而且是单位向量（大小等于 1）。

最后，还应该注意的是，使用正交基（由彼此垂直的向量形成的向量基）甚至正交基是很常见的。事实上，笛卡尔参考系是一个正交基。