▷ 数字的阶乘：它是什么以及如何计算 ✅

本页解释什么是数字的阶乘及其计算方法。此外，还提供了几个示例和一个包含最常用阶乘值的表格。它还教授如何使用计算器计算数字的阶乘。最后，说明了阶乘的应用和性质。

一个数的阶乘是什么？

在数学中，数字的阶乘等于从 1 到该数字的所有正整数的乘积。此外，数字的阶乘由数字后面的感叹号 (!) 表示。

例如，要确定数字n的阶乘（也称为阶乘n ），您必须将数字n乘以它前面的所有整数（从 1 开始）：

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n$

如何计算数字的阶乘

一旦我们了解了数字阶乘的含义，让我们通过一个例子来看看如何确定任何阶乘：

计算 4 的阶乘：

正如我们在其数学定义中看到的那样，数字的阶乘相当于所有小于或等于该数字的正整数的乘积。因此，要计算 4 的阶乘，我们需要将数字 1、2、3 和 4 相乘：

$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 =24$

因此 4 的阶乘得到 24。

数字的阶乘示例

为了完成对数字阶乘概念的理解，我们给您提供一个计算不同数字的阶乘的示例：

3 的阶乘：

$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 =6$

5 的阶乘：

$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5=120$

6 的阶乘：

$6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6=720$

1 的阶乘：

$1! = 1$

从逻辑上讲，数字 1 的阶乘等于 1，因为乘以 1 就足够了。

0 的阶乘：

$0! = 1$

是的，好吧，令人惊讶的是，0 的阶乘不等于 0，而是等于 1。这对你来说可能有点奇怪，因为理论上你必须将 0 乘以 1。但是，按照惯例，0！ =1，因为产品属性为空。我们给您留下这个链接，以防您想了解更多信息，尽管您知道原因并不真正相关，但重要的是您记住0 的阶乘等于 1 。

数字阶乘的结果列表

下面我们在表格中总结了最常用数字的阶乘，因此您不必手动计算它们。

号码	数字的阶乘
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5,040
8	40,320
9	362,880
十	3,628,800
十一	39,916,800
12	479,001,600
13	6,227,020,800
14	87 178 291 200
十五	1,307,674,368,000
16	20,922,789,888,000
17 号	355,687,428,096,000
18	6,402,373,705,728,000
19	121,645,100,408,832,000
二十	2,432,902,008 176,640,000
五十	3,041,409,320 · ^10.64
100	9,332 621,544 · ^10,157
1,000	4,023,872,601· ^10.2567
10,000	2,846,259,681 · ^10,35,659
100,000	2 824 229 408·10 ^{45 6573}
1,000,000	8,263,931,688·10 ^5,565,708

用计算器计算数字的阶乘

正如您在前面的示例中所看到的，两个连续数字的阶乘结果呈指数级增长，这就是为什么要知道大数的阶乘相当困难。因此，我们将向您展示如何使用计算器求数字的阶乘。

科学计算器有一个带有x 符号的键！或n！用于计算整数的阶乘。因此，要确定阶乘的价值，您必须在计算器上执行以下序列：

$n! \quad \color{red} \bm{\longrightarrow} \quad \color{black} n\rightarrow \boxed{x!} \rightarrow \boxed{=}$

通常，CASIO 计算器有阶乘键 x！或n！ x ^-1按钮上方。

例如，我们将使用计算器求解阶乘，以便您可以检查您是否知道如何执行此操作。例如，我们将计算 9 的阶乘：

$9! \quad \color{red} \bm{\longrightarrow} \quad \color{black} 9\rightarrow \boxed{x!} \rightarrow \boxed{=} \rightarrow 362880$

要求 9 的阶乘，必须先输入数字 9，然后按键

$\boxed{x!}$

最后，按等于按钮。在这种情况下，计算器应该向我们显示结果 362,880。

阶乘数的应用

数字的阶乘函数可能看起来是一个非常简单和荒谬的运算，但在高级代数中它被大量使用。然后我们将看到阶乘的主要用途。

首先，阶乘是计算组合数的基本运算，是一种更特殊的运算。如果您不知道组合数是什么，您可以在此链接中查看它的组成以及它的计算方式，您可以在其中找到示例、已解决的练习及其属性。此外，您将能够看到它的用途，因为它有许多实际应用程序。

阶乘还在数学中用于确定函数的泰勒多项式。

同样，阶乘用于解决某些组合问题，特别是计算组合和排列。从这个意义上说，阶乘也经常用于使用组合数学来计算概率。

n 个元素的排列对应于可以用这些元素进行的每种不同排列。因此，为了计算排列，需要使用阶乘。例如，如果在一个问题中您想要找到 7 个对象可以排列的可能性数量，则必须计算 7 的阶乘。

现在让我们看一个已解决的练习：

我们有 5 双不同的鞋子，我们有多少种排列方式？

在这个练习中，我们必须考虑到我们放置这 5 双鞋的顺序，找出所有可能的组合方式。因此，要解决这个问题，您只需计算 5 的阶乘：

$5! = 1\cdot 2 \cdot 3\cdot 4\cdot 5 =120$

简而言之，5双鞋可以有120种不同的摆放方式。

阶乘数的性质

阶乘数具有以下特点：

为两个正整数n和m且n大于m ，则显然n的阶乘值大于m的阶乘值。

$n>m \quad \longrightarrow \quad n! > m!” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”15″ width=”183″ style=”vertical-align: -2px;”> <ul style=$

一个数的阶乘可以被阶乘分解，使得其中一个因子是较小数的阶乘。

$n>m \quad \longrightarrow \quad n!= n\cdot (n-1) \cdots (m+1)\cdot m!” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”361″ style=”vertical-align: -5px;”> 例如，6 大于 4，因此 6 的阶乘表达式可以简化如下： <p class=$ $6! = 6 \cdot 5 \cdot 4!$

以下代数表达式对于任何数字的阶乘都有效，但 1 的阶乘除外：

$\displaystyle n!< \left( \frac{n+1}{2} \right)^n$

负数或小数的阶乘

我们刚刚看到了如何求正整数的阶乘值，但是……我们可以计算负数或小数的阶乘吗？答案是肯定的，但需要先进的数学知识。

负数和小数的阶乘是使用称为欧拉“伽玛函数”的特殊函数计算的，该函数由以下积分定义：

$\displaystyle \Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\, \mathrm{d}t$

因此，任何类型的阶乘都可以使用 Gamma 函数求解，因为以下方程始终为真：

$n! = \Gamma(n+1)$

例如，要找到 0.5 的阶乘，我们必须找到

$\Gamma(1,5)$

因为：

$0,5! = \Gamma(0,5+1) =\Gamma(1,5)$

积分的解将对应于 0.5 的阶乘。

显然，求解 Gamma 函数的积分并不容易，我们在本文中不会教授它，因为许多数学概念必须事先解释。但我们想让您知道，可以计算负数或小数的阶乘。

事实上，作为一个例子，我们计算了一些负的阶乘和小数值：

$\underline{\bm{n}}$	$\underline{\bm{n!}}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)!$	$\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{\pi}$
$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)!$	$\displaystyle \sqrt{\pi}$
$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)!$	$\displaystyle \frac{3}{4}\sqrt{\pi}$
$\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)!$	$\displaystyle \frac{15}{8}\sqrt{\pi}$