数字与矩阵的乘法

在本页中，我们将了解如何将数字乘以矩阵。您还有示例可以帮助您完全理解它并解决练习以便您可以练习。您还将找到标量和矩阵乘积的所有属性。

如何将一个数乘以一个矩阵？

要将数字乘以矩阵，请将矩阵的每个元素乘以该数字。

例子：

解决了数字与矩阵相乘的问题

练习1：

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它是标量与 2 阶方阵的乘法：

$\displaystyle 3 \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot 1 & 3\cdot 3 \\[1.1ex] 3\cdot 2 & 3\cdot (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{3} & \bm{9} \\[1.1ex] \bm{6} & \bm{-12} \end{pmatrix}$

练习2：

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它是一个数字与 3 阶方阵的乘积：

$\displaystyle -4 \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\[1.1ex] -1 & 0 & 3 \\[1.1ex] 6 & -2 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \cdot 2 & -4 \cdot 1 & -4 \cdot 5 \\[1.1ex] -4 \cdot (-1) & -4 \cdot 0 & -4 \cdot 3 \\[1.1ex] -4 \cdot 6 & -4 \cdot (-2) & -4 \cdot (-3) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bm{-8} & \bm{-4} & \bm{-20} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{0} & \bm {-12} \\[1.1ex] \bm{-24} & \bm{8} & \bm {12} \end{pmatrix}$

练习 3：

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它是一种将数字乘积与维度 2×2 矩阵和相结合的运算：

$\displaystyle 2 \begin{pmatrix} 5 & 1 \\[1.1ex] -2 & 3 \end{pmatrix}+5\begin{pmatrix} 5 & 1 \\[1.1ex] -2 & 3 \end{pmatrix}$

因此，我们首先需要解决产品：

$\displaystyle \begin{pmatrix} 10 & 2 \\[1.1ex] -4 & 6 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 25 & 5 \\[1.1ex] -10 & 15 \end{pmatrix}$

最后我们将结果矩阵相加：

$\displaystyle \begin{pmatrix} \bm{35} & \bm{7} \\[1.1ex] \bm{-14} & \bm{21} \end{pmatrix}$

练习 4：

考虑以下矩阵：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 1 & 4 & 0 \\ -3 & 2 & -5 \end{pmatrix} \qquad B=\begin{pmatrix} 6 & 0 & 2 \\ -3 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 7 \end{pmatrix}$

计算：

$\displaystyle -2A+5I-3B$

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它是一种将标量乘法与 3×3 维矩阵的加法和减法相结合的运算。此外，矩阵

$I$

是单位矩阵，由主对角线上的 1 和其余元素上的 0 组成：

$\displaystyle -2\begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 1 & 4 & 0 \\[1.1ex] -3 & 2 & -5 \end{pmatrix}+5\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} -3 \begin{pmatrix} 6 & 0 & 2 \\[1.1ex] -3 & 4 & 1 \\[1.1ex] 3 & 2 & 7 \end{pmatrix}$

因此，我们首先执行乘法：

$\displaystyle \begin{pmatrix} -4 & 6 & -10 \\[1.1ex] -2 & -8 & 0 \\[1.1ex] 6 & -4 & 10 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 5 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 18 & 0 & 6 \\[1.1ex] -9 & 12 & 3 \\[1.1ex] 9 & 6 & 21 \end{pmatrix}$

我们将前两个矩阵相加：

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 6 & -10 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \\[1.1ex] 6 & -4 & 15 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 18 & 0 & 6 \\[1.1ex] -9 & 12 & 3 \\[1.1ex] 9 & 6 & 21 \end{pmatrix}$

最后，我们执行矩阵减法：

$\displaystyle \begin{pmatrix} \bm{-17} & \bm{6} & \bm{-16} \\[1.1ex] \bm{7} & \bm{-15} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{-10} & \bm{-6} \end{pmatrix}$

如果这些关于矩阵标量乘积的练习对您有用，请毫不犹豫地练习逐步解决的矩阵加法和矩阵乘积（这两种类型的矩阵运算）的练习，这两种类型的矩阵运算将在更多方面重复。

数字与矩阵的乘积的性质

众所周知，矩阵有很多种类型：方阵、三角矩阵、单位矩阵等。但幸运的是，数字与矩阵的乘积的所有属性对于所有类别的矩阵都有效。

以下是标量和矩阵之间的乘法的性质：

关联属性：

$a \cdot (b \cdot A) = (a \cdot b) \cdot A$

看一下下面的两个运算，因为无论我们如何将 2 和 3 相乘，它们都会给出相同的结果：

$\displaystyle 2 \cdot \left(3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 2 & -1 \end{pmatrix} \right) =2 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 \\[1.1ex] 6 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{6} & \bm{0} \\[1.1ex] \bm{12} & \bm{-6} \end{pmatrix}$

$\displaystyle (2 \cdot 3) \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 2 & -1 \end{pmatrix} =6 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{6} & \bm{0} \\[1.1ex] \bm{12} & \bm{-6} \end{pmatrix}$

关于标量相加的分配性质：

$(a+b) \cdot A = a \cdot A+ b \cdot A$

正如您在下面的示例中看到的，如果我们先将 1+2 加起来，然后将其乘以一个矩阵，或者将矩阵分别乘以 1 和 2，然后将结果相加，结果是相同的：

$\displaystyle (1 + 2) \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 \\[1.1ex] -2 & -4 \end{pmatrix} =3 \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 \\[1.1ex] -2 & -4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bm{6} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{9} & \bm{15} \\[1.1ex] \bm{-6} & \bm{-12} \end{pmatrix}$

$\displaystyle 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 \\[1.1ex] -2 & -4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 \\[1.1ex] -2 & -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5\\[1.1ex] -2 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 6 & 10 \\[1.1ex] -4 & -8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bm{6} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{9} & \bm{15} \\[1.1ex] \bm{-6} & \bm{-12} \end{pmatrix}$

关于矩阵加法的分配律：

$a \cdot \left(A + B \right) = a \cdot A + a \cdot B$

换句话说，将两个数学矩阵相加，然后将它们乘以一个数，相当于将两个矩阵分别乘以相同的数，然后将结果相加。在下面的示例中，您可以检查：

$\displaystyle 4 \cdot \left( \begin{pmatrix} 3 & -2 \\[1.1ex] 6 & -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 & 3 \\[1.1ex] 0 & 4 \end{pmatrix} \right) =4 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\[1.1ex] 6 & 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bm{8} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{24} & \bm{12} \end{pmatrix}$

$\displaystyle 4 \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\[1.1ex] 6 & -1 \end{pmatrix}+ 4 \cdot \begin{pmatrix} -1 & 3 \\[1.1ex] 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -8 \\[1.1ex] 24 & -4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4 & 12 \\[1.1ex] 0 & 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{8} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{24} & \bm{12} \end{pmatrix}$

中性元素的性质：

$1 \cdot A = A$

因此，当将矩阵乘以 1 时，我们不会修改矩阵：

$\displaystyle 1 \cdot \begin{pmatrix} 5 & -4 & 0 \\[1.1ex] 1 & 3 & -3 \\[1.1ex] 2 & 9 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \bm{5} & \bm{-4} & \bm{0} \\[1.1ex] \bm{1} & \bm{3} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{2} & \bm{9} & \bm{4} \end{pmatrix}$

这些都是标量和矩阵乘积的所有属性，因此本文就结束了。我们希望您喜欢它，最重要的是，您学会了如何解决数字与矩阵的乘法。

另一方面，与乘法相关且非常有用的其他矩阵运算是幂。如果您好奇的话，我们在这里为您留下一个页面，您将在其中了解它是什么以及如何求解矩阵的幂。

如何将一个数乘以一个矩阵？

例子：

解决了数字与矩阵相乘的问题

练习1：

练习2：

练习 3：

练习 4：

数字与矩阵的乘积的性质

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