反余弦的导数

这里我们解释如何导出函数的反余弦。此外，您还会找到反余弦导数的示例，并且您将能够通过逐步解决的练习进行练习。最后，我们向您展示反余弦导数公式的证明。

反余弦的导数是什么？

x 的反余弦导数是 1 减去 x 平方的平方根的负一。

$f(x)=\text{arccos}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

因此，函数反余弦的导数等于减去该函数的导数除以一的平方根减去该函数的平方所得的商。

$f(x)=\text{arccos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

事实上，第一个公式就是用u代替第二个公式中的x得到的。因此，回顾一下，反余弦导数的公式为：

如您所见，反余弦导数的公式类似于反正弦导数，但在其前面添加了一个负数。

反余弦导数的示例

给定反余弦函数导数的公式，我们现在将分析此类三角导数的几个示例。这样您会更容易理解函数的反余弦是如何导出的。

示例 1：2x 的反余弦导数

$f(x)=\text{arccos}(2x)$

为了求解反余弦的导数，我们使用它的公式：

$f(x)=\text{arccos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

2x 的导数是 2，因此 2x 的反余弦导数是根 1 减去 2x 平方的负 2：

$f(x)=\text{arccos}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}}=-\cfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

示例 2：x 平方的反余弦导数

$f(x)=\text{arccos}(x^2)$

我们应用反余弦导数公式和链式法则来计算导数：

$f(x)=\text{arccos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

由于函数 x ²的导数为 2x，因此 x 的反余弦对 2 次方的导数为：

$f(x)=\text{arccos}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2x}{\sqrt{1-\left(x^2\right)^2}}=-\cfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

示例 3：对数反余弦的导数

$f(x)=\text{arccos}\bigl(\ln (x)\bigr)$

本例中的函数是一个由反余弦和自然对数组成的函数，所以我们需要使用链式法则来推导它。

$f(x)=\text{arccos}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

自然对数的导数是一除以 x，因此整数函数的导数是：

$f(x)=\text{arccos}\bigl(\ln (x)\bigr) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{\cfrac{1}{x}}{\sqrt{1-\left(\ln(x)\right)^2}}=\cfrac{1}{x\sqrt{1-\ln^2(x)}}$

反余弦导数解决了问题

推导以下反余弦函数：

$\text{A) }f(x)=\text{arccos}(7x)$

$\text{B) }f(x)=\text{arccos}(x^3+6x)$

$\text{C) }f(x)=\text{arccos}^3\left(e^{3x}\right)$

$\text{D) }f(x)=\text{arccos}\left(\log_3(x^3)\right)$

$\text{E) }f(x)=\text{arccos}\left(\sqrt{4x}\right)$

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$\text{A) }f'(x)=-\cfrac{7}{\sqrt{1-(7x)^2}}=-\cfrac{7}{\sqrt{1-49x^2}}$

$\text{B) }f'(x)=-\cfrac{3x^2+6}{\sqrt{1-(x^3+6x)^2}}$

$\begin{aligned}\text{C) }\displaystyle f'(x)&=3\text{arccos}^2\left(e^{3x}\right)\cdot \left(-\frac{3e^{3x}}{\sqrt{1-\left(e^{3x}\right)^2}}\right)\\[1.5ex] &=-\cfrac{9\text{arccos}^2\left(e^{3x}\right)\cdot e^{3x}}{\sqrt{1-e^{6x}}}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\text{D) }f'(x)&=-\cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\log_3(3x)\right)^2}}\cdot \cfrac{3}{3x\cdot \ln 3}\\[1.5ex] &=-\cfrac{1}{x\cdot \ln 3\cdot \sqrt{1-\log_3^2(3x)}} \end{aligned}$

$\begin{aligned}\text{E) } f'(x)& =-\cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\sqrt{4x}\right)^2}}\cdot \cfrac{4}{2\sqrt{4x}}\\[1.5ex] &=-\cfrac{2}{\sqrt{1-4x}\cdot 2\sqrt{x}}\\[1.5ex] &=-\cfrac{1}{\sqrt{x-4x^2}} \end{aligned}$