▷ 极限的性质（或定律）是什么？

在这里您将找到函数极限的所有属性（或定律）。这些属性用于简化极限计算，特别是在处理函数运算的极限时。

函数极限的性质（或定律）是什么？

接下来，我们将解释函数极限的所有性质，也称为函数极限定律。此外，您将能够看到每个极限属性的已解决练习，以便您可以完全理解该概念。

总和极限的性质

两个函数在某一点的极限之和等于每个函数在该点的极限之和。

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)$

例如，假设有两个函数：

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

x 等于 1 时每个函数的极限为：

$\displaystyle \lim_{x\to 1}x^2=1^2=1$

$\displaystyle \lim_{x\to 1}(2x+1)=2\cdot1+1=3$

因此，两个函数在同一点相加的极限为 4 (1+3=4)。

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}f(x)+\lim_{x\to 1}g(x)=\\[3ex]=1+3=4\end{array}$

该性质可以通过逐步计算极限来证明：

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\Bigl[x^2+2x+1\Bigr]=\\[3ex]=1^2+2\cdot 1+1=4\end{array}$

减法极限的性质

两个函数在某一点相减（或差）的极限相当于分别减去每个函数在该点的极限。

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x)$

使用上一个示例中的函数：

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

每个函数在 x=3 处的极限为：

$\displaystyle \lim_{x\to 3}x^2=3^2=9$

$\displaystyle \lim_{x\to 3}(2x+1)=2\cdot3+1=7$

那么，两个函数在x=3处相减的极限就是上一步得到的值的差：

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}f(x)-\lim_{x\to 3}g(x)=\\[3ex]=9-7=2\end{array}$

我们可以通过计算函数的减法然后求解极限来证明极限的性质：

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-(2x+1)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-2x-1\Bigr]\\[3ex]=3^2-2\cdot 3-1=2\end{array}$

限制产品的属性

两个函数在一点的乘积的极限是每个函数在该点的极限的乘积。

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{x\to a}g(x)$

例如，如果我们有以下两个不同的函数：

$f(x)=x^3\qquad g(x)=x^2-5$

x=2 处每个函数的极限为：

$\displaystyle \lim_{x\to 2}x^3=2^3=8$

$\displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2-5)=2^2-5=-1$

因此，要确定两个函数的乘积的极限，不必将它们相乘，而是将每个极限得到的结果相乘就足够了：

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 2}f(x)\cdot \lim_{x\to 2}g(x)=\\[3ex]=8\cdot (-1)=-8\end{array}$

这节省了我们的时间和计算量，因为两个函数相乘可能很困难。

商极限的性质

两个函数的商（或除法）的极限等于函数极限的商。

$\displaystyle \lim_{x\to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

只要分母函数的极限不为零，就满足此条件。

$\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)\neq 0$

我们将解决这个极限属性（或定律）的例子。考虑函数 f(x) 和 g(x)：

$f(x)=5x-1\qquad g(x)=3^x$

我们首先计算每个函数在 x=0 处的极限：

$\displaystyle \lim_{x\to 0}(5x-1)=5\cdot 0-1=-1$

$\displaystyle \lim_{x\to 0}3^x=3^0=1$

因此可以很容易地找到 x=0 处两个函数相除的极限：

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)}=\displaystyle\frac{-1}{1}=-1\end{array}$

在这种情况下，我们可以应用这个性质来求解极限，因为 g(x) 的极限是非零的。

常数极限的性质

常数函数的极限总是产生常数本身，无论极限是在什么点计算的。

$\displaystyle \lim_{x\to a} k=k$

这个属性很容易检查，例如，如果我们有以下常量函数：

$f(x)=5$

从逻辑上讲，常数函数在任意点的极限是 5：

$\displaystyle \lim_{x\to 0}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 3}5=5$

$\displaystyle \lim_{x\to -2}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 7}5=5$

常数倍数极限的性质

根据乘积极限和常数极限的性质，我们可以推导出以下性质：

函数的极限乘以常数等于该常数与函数的极限的乘积。

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[ k\cdot f(x)\Bigr]=k\cdot\lim_{x\to a}f(x)$

请注意我们如何使用此属性简化以下限制的计算：

$\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x\to 4} (2x^2-12x+10)=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 4}\Bigl[2\cdot(x^2-6x+5)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle 2\cdot\lim_{x\to 4}(x^2-6x+5)=\\[3ex]=2\cdot (4^2-6\cdot4+5)=\\[3ex]=2\cdot (-3)=-6\end{array}$

幂极限的性质

任何函数提升到指数的极限相当于计算函数的极限，然后将极限的结果提升到该指数。

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^k\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^k$

例如，线性函数的极限为：

$\displaystyle\lim_{x\to 6}x=6$

那么，二次函数的极限可以通过找到线性函数的极限然后对结果求平方来计算：

$\displaystyle\lim_{x\to 6}\Bigl[x^2\Bigr]=\left[\lim_{x\to 6}x\right]^2=\bigl[6\bigr]^2=36$

指数函数极限的性质

指数函数的极限等于函数代数表达式极限的函数常数。

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[k^{g(x)}\Bigr]=k^{^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}}$

然后，我们将通过两种可能的方式计算指数函数的极限来验证此属性：

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{2\cdot 1}=25$

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{^{\displaystyle\lim_{x\to 1}2x}}=5^{2\cdot 1}=25$

函数幂极限的性质

一个函数升到另一个函数的极限是第一个函数的极限升到第二个函数的极限。

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^{g(x)}\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

例如，我们将应用该法则确定以下限制：

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2}\Bigl[(x^2-4x)^{4x-5}\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\left[\lim_{x\to 2}(x^2-4x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to 2}(4x-5)}=\\[3ex]=\displaystyle (2^2-4\cdot 2)^{4\cdot 2-5}=\\[3ex]=(-4)^3=-64\end{array}$

无理函数极限的性质

根（或根式）的极限等于极限的根。

$\displaystyle\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)}$

要使用此属性，必须记住，如果根索引为偶数，则函数的极限必须大于或等于 0：

$\text{si } n \text{ es par} \ \longrightarrow \ \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\ge 0$

请注意如何应用此公式计算以下限制：

$\displaystyle\lim_{x\to 4}\sqrt[3]{\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\lim_{x\to 4}\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\frac{4^2}{2}}=\sqrt[3]{8}=2$

对数函数极限的性质

对数的极限等于极限的同底对数。

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[\log_k f(x)\Bigr]=\log_k \left[\lim_{x\to a}f(x)\right]$

看看我们应用此属性的以下限制的分辨率：

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to -4}\Bigl[\log_3 (x^2-2x+3)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 \left[\lim_{x\to -4}(x^2-2x+3)\right]=\\[4ex]=\displaystyle\log_3\bigl[(-4)^2-2\cdot (-4)+3\bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 27=3\end{array}$

极限性质（或定律）

函数极限的性质（或定律）是什么？

总和极限的性质

减法极限的性质

限制产品的属性

商极限的性质

常数极限的性质

常数倍数极限的性质

幂极限的性质

指数函数极限的性质

函数幂极限的性质

无理函数极限的性质

对数函数极限的性质

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