对齐点

16 9 月, 2023

在此页面上，您将找到对齐点的解释。您还将看到可用于确定 3 个（或更多）点是否对齐的所有方法。此外，您还会找到一些示例，甚至已解决的练习，以便您进行练习。

点对齐是什么意思？

在解析几何中，如果三个或更多点都在同一条线上，也就是说，如果可以通过在它们之间画一条直线将它们连接起来，则它们是对齐的。

显然，两个点总是对齐的，因为您总是可以在两点之间画一条线。然而，三个点不必在同一条线上。主要有两种方法可以知道3个或更多点是否对齐：

矢量方法：包括查看形成点的矢量是否成比例。
线方程法：判断点是否属于同一条直线。

以下是每个过程和示例的说明，以便您可以决定哪一个最适合您。

如何用向量方法判断3个（或更多）点是否对齐

考虑三点：

$A(x_1,y_1) \quad B(x_2,y_2) \quad C(x_3,y_3)$

如果向量则这三个点对齐

$\vv{AB}$

和

$\vv{BC}$

它们具有相同的方向，也就是说它们的分量是否成比例。

平面上对齐的点

让我们看一个如何完成此操作的示例：

判断以下3点是否对齐：

$A(1,2) \quad B(4,4) \quad C(-2,0)$

首先，我们计算点之间的向量。计算两个不同的向量就足够了：

$\vv{AB} = B - A = (4,4)- (1,2) = (3,2)$

$\vv{BC} = C-B =(-2,0)- (4,4)= (-6,-4)$

然后我们检查向量的坐标是否成比例：

$\cfrac{-6}{3} = \cfrac{-4}{2} = -2$

通过将两个向量的 X 分量和 Y 分量相除，我们得到相同的结果 (-2)，因此向量具有相同的方向，因此点是对齐的。

此方法还可用于找出三个或更多点在空间中是否对齐（在 R3 中），唯一需要添加的是检查两个向量的第三个分量（Z 分量）是否也成比例。

如果本文对您有用，您可能还会有兴趣了解如何计算两点之间的中点，因为显然，找到 2 点的中点是确定与其他两点对齐的第三点的一种方法。您可以在链接页面上看到它是如何完成的，此外您还可以看到逐步解决的示例和练习。

如何用直线方程法判断3个（或更多）点是否对齐

正如我们在上一节中看到的，研究 3 个或更多点对齐的一种方法是使用它们之间形成的向量。那么，另一种方法是从直线方程开始：

考虑三点：

$A(x_1,y_1) \quad B(x_2,y_2) \quad C(x_3,y_3)$

如果这三个点都属于同一直线，则这三个点对齐。因此，要知道三个或更多点是否对齐，必须遵循以下步骤：

求通过这三个点中的两个点的直线方程。
检查第三个点是否也属于该直线。在这种情况下，这意味着 3 个点对齐，但是如果不满足条件，则意味着这些点未对齐。

三个对齐点的公式

例如，我们将使用此方法解决一个练习：

检查以下 3 点是否对齐：

$A(3,1) \quad B(1,4) \quad C(5,-2)$

首先，我们必须计算经过A点和B点的直线方程。因此我们求出直线的方向向量：

$\vv{AB} = B-A = (1,4) - (3,1) = (-2,3)$

现在你必须构造直线方程，你可以选择你想要的类型：参数、隐式、一般等。但在这种情况下，我们将使用连续方程。那么经过A点和B点的直线的连续方程为：

$\cfrac{x-3}{-2}=\cfrac{y-1}{3}$

一旦我们有了直线方程，我们必须检查另一个点是否也属于同一条直线。为此，我们将 C 点的坐标代入直线方程：

$\cfrac{5-3}{-2}=\cfrac{-2-1}{3}$

$\cfrac{2}{-2}=\cfrac{-3}{3}$

$-1=-1$

我们得到了平局，所以该点满足直线方程。因此这 3 个点共线。

需要注意的是，一组对齐点不必是等距的，即几个对齐点之间的距离可以不同。您可以在两点（几何）之间的距离的解释中看到这两个概念之间的区别，您还可以在其中看到逐步解决的示例和练习。

解决对齐点练习

练习1

判断以下3点是否对齐：

$A(1,1) \quad B(2,-1) \quad C(-2,7)$

查看解决方案

我们可以选择我们见过的两种方法中的一种来解决问题。在这种情况下，我们将使用向量方法。

首先，我们计算点之间的向量：

$\vv{AB} = B - A = (2,-1)- (1,1) = (1,-2)$

$\vv{BC} = C-B =(-2,7)- (2,-1)= (-4,8)$

现在我们检查向量的笛卡尔坐标是否成比例：

$\cfrac{-4}{1} = \cfrac{8}{-2} = -4$

通过将两个向量的 X 分量和 Y 分量相除，我们得到相同的结果 (-4)，因此向量具有相同的方向。表明点对齐的事实。

练习2

给出3点：

$A(6,3) \quad B(4,-3) \quad C(4,5)$

确定哪些与以下两点相符：

$D(3,-1) \quad E(2,1)$

查看解决方案

在这种情况下，我们将使用直线方程方法，这样我们将节省一些计算。

因此，我们计算通过 D 点和 E 点的直线的连续方程：

$\vv{DE} = E-D = (2,1) - (3,-1) = (-1,2)$

$\cfrac{x-3}{-1}=\cfrac{y+1}{2}$

现在让我们检查哪些点对应于直线方程，因此与点 D 和 E 对齐，哪些点不对齐。

我们检查A点：

$\cfrac{6-3}{-1}=\cfrac{3+1}{2}$

$\cfrac{3}{-1}=\cfrac{4}{2}$

$-3\neq 2$

直线方程不成立，因此A 点未与 D 点和 E 点对齐。

我们现在检查B点：

$\cfrac{4-3}{-1}=\cfrac{-3+1}{2}$

$\cfrac{1}{-1}=\cfrac{-2}{2}$

$-1= -1$

在这种情况下，满足直线方程，因此B 点与 D 点和 E 点共线。

最后，我们在 C 点重复这个过程：

$\cfrac{4-3}{-1}=\cfrac{5+1}{2}$

$\cfrac{1}{-1}=\cfrac{6}{2}$

$-1\neq 3$

直线方程不成立，因此C 点未与 D 点和 E 点对齐。

练习3

寻找未知的价值

$k$

以便以下 3 点对齐：

$A(k,5) \quad B(-1,-4) \quad C(k-1,2)$

查看解决方案

在这种情况下，我们将使用向量方法。

因此，我们尝试计算点之间的向量：

$\vv{AB} = B - A = (-1,-4)- (k,5) = (-1-k,-9)$

$\vv{BC} = C-B =(k-1,2)- (-1,-4)= (k,6)$

为了满足三点共线性，两个向量的坐标必须成比例。因此我们应用这个条件：

$\cfrac{-1-k}{k} = \cfrac{-9}{6}$

我们求解方程：

$(-1-k)\cdot 6 = -9 \cdot k$

$-6-6k = -9k$

$-6k+9k = 6$

$3k = 6$

$k=\cfrac{6}{3}$

$\bm{k=2}$

这样3个点就对齐了

$k$

必须值 2。

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