对称矩阵 - Mathority

在此页面上，您将找到对称矩阵的解释。另外，我们还向您展示如何快速识别矩阵何时对称，并提供几个示例，让您毫无疑问。您还将发现对称矩阵的所有属性。最后，我们解释任何方阵都具有的一个特殊特征：它可以分解为对称矩阵和反对称矩阵的和。

什么是对称矩阵？

对称矩阵的定义如下：

对称矩阵是一个方阵，其转置等于矩阵本身。

$A^t = A$

金子

$A^t$

表示转置矩阵

$A$

。

一旦我们知道了对称矩阵的概念，我们就会看到如何轻松识别任何对称矩阵：

矩阵何时对称？

认识对称矩阵的结构非常简单：第i行j列的元素必须与第 j行i列的元素相同。并且矩阵主对角线的值可以是任意的。

对称矩阵的示例

下面举几个对称矩阵的例子来帮助你理解：

2 × 2 阶对称矩阵的示例

维度为 3×3 的对称矩阵的示例

大小为 4×4 的对称矩阵的示例

通过转置这三个矩阵，我们验证它们是对称的，因为转置矩阵相当于它们各自的原始矩阵。

为什么叫对称矩阵呢？

如果仔细观察前面的示例，对称矩阵的主对角线是对称轴，或者换句话说，它充当对角线上方数字和下方数字之间的镜子。因此，这些类型的矩阵称为对称矩阵。

对称矩阵的性质

对称矩阵的特点如下：

两个对称矩阵相加（或相减）得到另一个对称矩阵。由于转置两个相加（或相减）的矩阵相当于分别转置每个矩阵：

$\displaystyle \left(A+B\right)^t = A^t+B^t = A+B$

任何对称矩阵乘以标量也会产生另一个对称矩阵。

同样，两个对称矩阵之间的矩阵乘积并不总是等于另一个对称矩阵，只有当且仅当两个矩阵可以交换时。这个条件可以用转置矩阵乘法性质来证明：

$\displaystyle \left(A\cdot B\right)^t = B^t\cdot A^t = BA=AB$

只要指数是整数，对称矩阵的幂就会产生另一个对称矩阵。

显然，酉矩阵和零矩阵都是对称矩阵的例子。

与对称矩阵全等的矩阵也必须是对称的。

如果一个对称矩阵是正则或可逆的，那么它的逆矩阵也是对称的。

与对称矩阵的伴随相同：对称矩阵的伴随矩阵给出另一个对称矩阵作为解。

真正的对称矩阵也是正规矩阵。

由于对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例，因此对称矩阵的所有特征值（或多个特征值）都是实数。

谱定理告诉我们，所有元素为实数的矩阵都是可对角化的矩阵，而且，对角化是通过正交矩阵进行的。因此，所有实对称矩阵都是正交对角化的。

另一方面，具有复数的对称矩阵可以通过酉矩阵进行对角化。

Hessian 矩阵始终是对称的。

将方阵分解为对称矩阵和反对称矩阵

方阵的一个特点是它们可以分解为对称矩阵加反对称矩阵的和。

允许我们执行此操作的公式如下：

$\displaystyle \begin{array}{c} C = S + A \\[2ex] S = \cfrac{1}{2}\cdot (C+C^t) \qquad A = \cfrac{1}{2} \cdot (C-C^t)\end{array}$

其中C是我们要分解的方阵，C^是其转置，最后S和A分别是矩阵C分解成的对称矩阵和反对称矩阵。

下面有一个已解决的练习，您可以了解这是如何完成的。让我们分解以下矩阵：

$\displaystyle C=\begin{pmatrix} 2& -1 \\[1.1ex] 3 &0\end{pmatrix}$

我们用以下公式计算对称和反对称矩阵：

$\displaystyle S=\cfrac{1}{2}\cdot (C+C^t)= \begin{pmatrix} 2& 1 \\[1.1ex] 1 &0\end{pmatrix}$

$\displaystyle A=\cfrac{1}{2}\cdot (C-C^t)= \begin{pmatrix} 0& -2 \\[1.1ex] 2 &0\end{pmatrix}$

我们可以通过将两个矩阵相加来检查方程是否满足：

$\displaystyle C=S+A \quad ?$

$\displaystyle\begin{pmatrix} 2& 1 \\[1.1ex] 1 &0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0& -2 \\[1.1ex] 2 &0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2& -1 \\[1.1ex] 3 &0\end{pmatrix}$

$\displaystyle C=S+A$

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