在本文中，我们解释什么是对称函数（偶函数和奇函数）以及如何研究函数的对称性。您还将能够看到这些类型函数的属性，最后，您将能够练习逐步解决对称函数的练习。
什么是对称函数？
对称函数是可以在其图形表示中找到对称轴的函数。对称函数有两种类型：偶函数，关于 Y 轴对称；奇函数，关于坐标原点对称。
请记住，对称轴是一条假想线，它将任何东西分成两部分，以便它们的相对点彼此等距。
偶函数
偶函数是关于 y 轴对称的函数，即 Y 轴是函数的对称轴。
正如您在上面所示的二次函数中所看到的，偶函数对于自变量 (x) 的任何值的图像都相当于相反值 (-x) 的函数的图像。换句话说，从数学上来说，一个函数满足以下条件就是偶数：
偶函数是对称函数的一种，现在让我们看看奇函数是什么样的。
奇函数
奇函数是相对于坐标原点（即相对于点 (0,0)）对称的函数。
下面你可以看到一个奇函数的图形：
函数关于坐标原点对称的事实意味着，如果我们首先通过 OY 轴然后通过 OX 轴折叠函数的图形，则函数的图形将重叠。
从代数上来说，如果一个函数的图像之间满足以下关系，则该函数是奇函数：
了解函数的对称性对于表示它非常有用，因为只知道图形的一半，我们就可以快速绘制另一部分。
如何求函数的对称性
为了研究函数的对称性，我们必须计算
，也就是说需要计算
因此，根据图像的结果，函数的对称性将是：
- 如果已满
，该函数是偶函数，因此关于 Y 轴对称。
- 如果已满
，该函数是奇数，因此相对于坐标原点对称。
- 如果以上条件都不满足，则它是非对称函数（没有对称轴）。
例如，我们来分析以下三次函数的对称性：
为了研究函数的对称性，我们计算
生成的代数表达式与原始函数表达式等效，但改变了符号，或者换句话说，满足以下等式：
因此，该函数是奇函数，因此相对于坐标原点 (0,0) 对称。
对称函数的性质
对称函数具有以下特点：
- 两个偶/奇函数的和等于另一个偶/奇函数。
- 两个偶函数或两个奇函数的乘积给出一个偶函数。
- 偶/奇函数的导数是偶/奇函数。
- 两个偶/奇函数的复合相当于一个偶/奇函数。
- 唯一既是偶数又是奇数的函数，即关于 OY 轴和原点对称的函数是
解决了函数的对称性问题
练习1
求以下函数的对称性：
为了计算函数的对称性，我们需要评估
负数的任何指数次幂都会得到正数，因此在这种情况下，以下等式成立：
因此该函数是偶函数，因此它关于 y 轴 (Y 轴) 对称。
练习2
研究以下有理函数的对称性：
为了确定函数的对称性，我们这样做
在这个问题中，不满足对称条件，因为图像
不等于
也不
因此，该函数没有对称轴，而是一个不对称函数。
练习3
计算以下函数的对称性：
为了分析函数的对称性，我们需要计算
![\begin{aligned}f(-x)&=2(-x)|(-x)|\\[2ex]&=-2x|-x|\\[2ex]&=-2x|x|\\[2ex]&=-(2x|x|)\\[2ex]&=-f(x)\end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d939238f353c0ab70492a66466dd0569_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
在这种情况下，结果表达式与原始表达式类似，但符号发生了变化，因此满足以下等式：
因此，该函数是奇函数，因此相对于坐标原点 (0,0) 对称。