对数函数的导数

在这里，您将了解如何求解任何底数（公式）中的对数函数的导数。此外，您将能够逐步练习对数函数的导数。

对数函数的除法公式取决于对数是自然对数（以 e 为底）还是其他底数。因此，我们首先将这两个公式分别看一下，并针对每种情况举例说明，然后我们将对这两个规则进行总结。

自然或自然对数的导数

自然对数（或自然对数）的导数是对数自变量的导数除以自变量函数的商。

从逻辑上讲，如果对数内部的函数是恒等函数，则导数的分子中保留 1：

看下面的例子，其中求解 3x 自然对数的导数：

请记住，自然对数是以数字 e（欧拉数）为底的对数。

基于对数的导数

对数对任何底数的导数等于 1 除以 x 乘以原始对数底数的自然对数的乘积。

因此，如果我们应用链式法则，则对数导数规则为：

例如，x 平方以 2 为底的对数的导数为：

对数函数的导数公式

考虑到对数导数的定义及其两种可能的变体，这里总结了这两个公式，以便您更容易记住。

解决了对数函数的导数问题

练习1

推导以下对数函数：

在这种情况下，需要求解十进制对数的导数，因此我们必须应用以下公式：

因此，以 10 为底的对数的导数为：

请记住，如果对数没有底数，则意味着它的底数是 10。

练习2

推导以下自然（或自然）对数：

本题中的函数是自然对数，因此我们需要使用以下规则来推导对数函数：

因此，自然对数的导数为：

练习3

导出以下对数：

在本练习中，我们需要导出以 7 为底的对数，因此我们将使用以下公式：

对数的导数为：

练习4

求以下对数函数与分数的导数：

为了求解对数导数，我们首先可以应用对数的性质来简化函数：

现在我们必须使用对数导数公式两次，但两次导数都更容易计算。

综上所述，函数的导数为：

练习5

计算以下对数函数的一根导数：

首先，我们将使用对数的属性来简化函数：

一旦我们从函数中删除了根式，我们就可以使用自然或自然对数的导数规则：

因此，复合对数函数的导数为：