周长方程 -

在此页面上，您将找到有关圆周方程的所有内容：普通方程、一般方程、其他类型的圆周方程、何时圆周方程正确……此外，您还将看到如何找到方程的示例圆周，您可以通过已解决的练习进行练习。

普通圆方程

在了解什么是周长方程之前，我们先回顾一下周长的概念：

圆周是平面上与称为中心的固定点等距的点的轨迹。

因此，圆上的所有点到圆心的距离都相同。

此外，圆是与椭圆、抛物线和双曲线一起的四个圆锥曲线之一。即用平行于底面的平面切割圆锥体即可得到圆。

在笛卡尔平面中描述圆的最简单方法是根据其普通方程。因此，周长常方程的公式如下：

圆的普通方程为：

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

金子：

$r$

是圆的半径。
$a$

和

$b$

是圆心的坐标：

$C(a,b)$

虽然我们不会演示它，因为它有点乏味，但这个方程可以从毕达哥拉斯定理得到。

我们通过一个例子来看看圆的常方程是如何计算的：

求以该点为圆心、半径为5的圆的常方程
$C(3,-1).$

圆的普通方程的公式为：

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

因此，我们只需要用未知数来代替

$r$

由半径值和未知数

$a$

和

$b$

分别由圆心的 X 和 Y 坐标：

$(x-3)^2+(y-(-1))^2=5^2$

所以圆的普通方程为：

$\bm{(x-3)^2+(y+1)^2=25}$

圆的一般方程

另一种圆周方程是一般方程，实际上它是最常用的。然后我们将看到如何从任何圆周的常方程中获得其一般方程。

考虑圆的普通方程：

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

如果我们开发出卓越的等式（或卓越的产品）：

$x^2+a^2-2ax+y^2+b^2-2by=r^2$

$x^2-2ax+y^2-2by+a^2+b^2-r^2=0$

现在我们对变量进行 3 处更改：

$A=-2a \qquad B=-2b \qquad C=a^2+b^2-r^2$

最终我们得到圆周的一般方程：

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$

因此，周长一般方程的公式为：

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$

其中圆心是：

$\displaystyle C\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)$

圆的半径为：

$\displaystyle r=\sqrt{\left(\frac{A}{2}\right)^2 +\left(\frac{B}{2}\right)^2-C}$

所以这个圆周方程总是由普通方程得到。下面是一个例子来看看它是如何完成的：

求以该点为圆心、半径为6的圆的一般方程
$C(2,4).$

首先我们需要找到圆的普通方程。为此，我们使用他的公式：

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

$(x-2)^2+(y-4)^2=6^2$

现在我们进行操作，直到找到圆周的一般方程，也就是说，直到我们无法再简化：

$x^2+2^2-2\cdot x \cdot 2+y^2+4^2-2\cdot y \cdot 4=36$

$x^2+4-4x+y^2+16-8y=36$

$x^2-4x+y^2-8y+4+16-36=0$

$x^2-4x+y^2-8y-16=0$

所以圆的一般方程为：

$\bm{x^2+y^2-4x-8y-16=0}$

虽然问题没有要求，但我们现在可以计算找到的方程的圆心和半径来验证它是否正确。

为了确定圆的中心，我们使用它的公式：

$\displaystyle C\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)$

$\displaystyle C\left(-\frac{-4}{2}, -\frac{-8}{2}\right)$

$\displaystyle C\bigl(-(-2), -(-4)\bigr)$

$\displaystyle C\left(2,4\right)$

事实上，圆心与声明的中心重合。

我们还用公式检查圆周的半径：

$\displaystyle \begin{aligned} r & = \sqrt{\left(\frac{A}{2}\right)^2 +\left(\frac{B}{2}\right)^2-C} \\[2ex] & =\sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2 +\left(\frac{-8}{2}\right)^2-(-16)} \\[2ex] & =\sqrt{\left(-2\right)^2 +\left(-4\right)^2+16} \\[2ex] &= \sqrt{4+16+16} \\[2ex] &= \sqrt{36} \\[2ex] & = 6 \end{aligned}$

并且半径也等于语句的半径。因此，计算出的周长方程是正确的。

圆周的存在性

所有方程的形式为

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$

对应一个圆。因此，要使此类表达式真正成为圆方程，必须满足以下 3 个条件：

的系数
$x^2$

和的

$y^2$

它们必须等于 1。请记住，如果两个变量前面都有一个不是 1 的数字，但它们具有相同的数字，则整个方程可以除以该数字，以便它们的系数为 1。
方程不能有项
$xy.$
以下表达式必须为正：

我们见过的两个圆方程，即普通方程和一般方程，最常用于在数学上表达平面上的圆（在 R2 中）。然而，有几种类型的方程来描述这个几何对象，下面是每种方程的解释。

圆的正则方程

圆的正则方程或简化方程用于描述其中心位于坐标原点（即点 (0,0)）的任何圆。所述方程如下：

$x^2+y^2=r^2$

另外，如果半径等于单位（1），则周长方程将为：

$x^2+y^2=1$

最后一个方程对应于测角周长，也称为单位周长或单位圆。它是以坐标原点为圆心、半径为 1 的圆。

两个同心圆的方程

两个同心方程是中心在同一点的方程。两个同心圆唯一不同的是半径。

因此，要满足这个条件，两个同心圆的方程除了独立项必须不同之外，完全相同。

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$

$x^2+y^2+Ax+By+C'=0$

例如，以下两个圆是同心的，因为除了独立项之外，它们的所有系数都相同：

$x^2+y^2+3x-4y+1=0$

$x^2+y^2+3x-4y+5=0$

圆的参数方程

与直线一样，圆的方程也可以用正弦和余弦的三角函数来参数化。因此，圆的参数方程为：

$\diplaystyle \begin{cases}x= a + r \cdot \text{cos}(t) \\[2ex] y= b + r\cdot \text{sen}(t)\end{cases} \qquad t\in[0,2\pi)$

点在哪里

$(a,b)$

是圆的中心并且

$r$

这是你的部门。

解决了圆的方程问题

练习1

计算以点为圆心、半径为5的圆的一般方程

$C(-1,2).$

查看解决方案

要求圆的一般方程，首先要求它的常方程。为此，我们使用圆的普通方程的公式：

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

$(x-(-1))^2+(y-2)^2=5^2$

$(x+1)^2+(y-2)^2=25$

一旦我们知道了普通方程，我们就可以找到圆的一般方程：

$x^2+1^2+2\cdot x \cdot 1+y^2+2^2-2\cdot y \cdot 2=25$

$x^2+1+2x+y^2+4-4y=25$

$x^2+2x+y^2-4y+1+4-25=0$

$x^2+2x+y^2-4y-20=0$

所以圆的一般方程为：

$\bm{x^2+y^2+2x-4y-20=0}$

练习2

对于以下每个圆，找到其圆心的坐标和半径的长度。

$\text{A)}\ (x-2)^2+(y+5)^2=36$

$\text{B)}\ x^2+y^2+8x-10y+1 = 0$

$\text{C)}\ x^2+y^2=4$

查看解决方案

周长A)

$(x-2)^2+(y+5)^2=36$

周长以常方程的形式表示，其公式为：

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

因此，圆心坐标为：

$C(a,b)$

$\bm{C(2,-5)}$

其半径为：

$r^2=36$

$\bm{r=6}$

周长 B)

$x^2+y^2+8x-10y+1 = 0$

该周长以一般方程的形式表示，因此要计算其中心的坐标，必须使用以下公式：

$\displaystyle C\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right)$

$\displaystyle C\left(-\frac{8}{2}, -\frac{-10}{2}\right)$

$\displaystyle C\bigl(-4, -(-5)\bigr)$

$\displaystyle \bm{C(-4, 5)}$

另一方面，求圆半径的公式是：

$\displaystyle \begin{aligned} r & = \sqrt{\left(\frac{A}{2}\right)^2 +\left(\frac{B}{2}\right)^2-C} \\[2ex] & =\sqrt{\left(\frac{8}{2}\right)^2 +\left(\frac{-10}{2}\right)^2-1} \\[2ex] & =\sqrt{\left(4\right)^2 +\left(-5\right)^2-1} \\[2ex] &= \sqrt{16+25-1} \\[2ex] &= \bm{\sqrt{40}} \end{aligned}$

周长C)

$x^2+y^2=4$

周长以常方程的形式表示，其公式为：

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

因此，圆心坐标为：

$C(a,b)$

在这种情况下，方程没有项。

$a$

两者都不

$b,$

因此它以坐标原点为中心：

$\bm{C(0,0)}$

其半径为：

$r^2=4$

$\bm{r=2}$

练习3

下列哪个方程是圆的方程？

$\text{A)}\ x^2+y^2+4x-6y-1=0$

$\text{B)}\ x^2+y^2+5x+5y+2xy-4 = 0$

$\text{C)}\ 2x^2+2y^2-8x+4y+2=0$

$\text{D)}\ x^2+y^2+x+2y+6=0$

查看解决方案

对于圆方程的表达式，必须满足以下条件：

1.系数

$x^2$

和的

$y^2$

它们必须等于 1。
2.方程不能有项

$xy.$

方程A）

$x^2+y^2+4x-6y-1=0$

的系数

$x^2$

和

$y^2$

为 1 并且方程没有项

$xy.$

因此，检查第三个条件就足够了：

$\displaystyle \left(\frac{A}{2}\right)^2+\left(\frac{B}{2}\right)^2-C>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”47″ width=”190″ style=”vertical-align: -17px;”> 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”47″ width=”216″ style=”vertical-align: -17px;”> 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”22″ width=”146″ style=”vertical-align: -5px;”> 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”103″ style=”vertical-align: -2px;”> 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”49″ style=”vertical-align: -2px;”> <p class=$ 该方程满足3个条件，故为圆方程。

方程 B)

$x^2+y^2+5x+5y+2xy-4 = 0$

该方程有一个项

$xy,$

其中方程不对应于圆。

方程C)

$2x^2+2y^2-8x+4y+2=0$

的系数

$x^2$

和

$y^2$

不是 1，但我们可以通过除以所有项来变换方程：

$x^2+y^2-4x+2y+1=0$

这样现在的系数

$x^2$

和

$y^2$

是的，它们是 1，而且，方程没有项

$xy.$

因此我们只需验证第三个条件：

$\displaystyle \left(\frac{A}{2}\right)^2+\left(\frac{B}{2}\right)^2-C>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”47″ width=”190″ style=”vertical-align: -17px;”> 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”47″ width=”189″ style=”vertical-align: -17px;”> 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”22″ width=”158″ style=”vertical-align: -5px;”> 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”103″ style=”vertical-align: -2px;”> 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”14″ width=”42″ style=”vertical-align: -2px;”> <p class=$ 该方程满足3个条件，故为圆方程。

方程 D)

$x^2+y^2+x+2y+6=0$

的系数

$x^2$

和

$y^2$

为 1 并且方程没有项

$xy.$

因此，检查第三个条件就足够了：

$\displaystyle \left(\frac{A}{2}\right)^2+\left(\frac{B}{2}\right)^2-C>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”47″ width=”190″ style=”vertical-align: -17px;”> 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”47″ width=”175″ style=”vertical-align: -17px;”> 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”17″ width=”128″ style=”vertical-align: -4px;”> } \ 0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”17″ width=”82″ style=”vertical-align: -4px;”> <p class=$ 该方程不满足最后一个条件，因此它不是圆的方程。

练习4

确定经过下列三点的圆的方程：

$A(0,0) \quad B(3,0) \quad C(2,-2)$

查看解决方案

任意圆的一般方程为：

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$

因此，我们需要将点的坐标代入圆方程来求参数

$A,$

$B$

和

$C.$

通过第一点我们找到系数

$C:$

$A(0,0) \ \longrightarrow \ 0^2+0^2+A\cdot 0 +B\cdot 0+C=0 \ \longrightarrow \ \bm{C = 0}$

根据第二点我们求出系数

$A:$

$\begin{aligned}A(3,0) \ \longrightarrow \ & 3^2+0^2+A\cdot 3 +B\cdot 0+C=0 \\[2ex] & 9+A\cdot 3 =0\\[2ex]& \bm{A=-3} & \end{aligned}$

从第三点我们求出系数

$B:$

$\begin{aligned} A(2,-2) \ \longrightarrow \ & 2^2+(-2)^2+A\cdot 2 +B\cdot (-2)+C=0 \\[2ex] & 4+4+(-3)\cdot 2+ B\cdot (-2)+0=0 \\[2ex] & 8-6-2B=0 \\[2ex] & \bm{B=1} \end{aligned}$