反比例函数

本页解释了什么是反比例函数以及如何绘制它们的图表。此外，您还会发现此类函数的所有特征、如何计算其定义域以及逐步解决练习的几个示例和练习。

什么是反比例函数？

因此，反比例函数总是由分母为一次多项式的分数组成。因此，它们是一种有理函数。

反比例函数的示例：

一般来说

通常是自变量并且

因变量，或者换句话说，变量

取决于

另一方面，比例比（分子项）可以是正数或负数，其符号标志着函数的增加或减少：

• 如果常数

  

  为负数，函数是递增的。

• 相反，如果常数

  

  为正，则函数递减。

正如您所看到的，反比例函数的图形始终由两条双曲线组成，根据k的符号，它们将位于一个象限或另一个象限中。

反比例函数的域

作为一种有理函数，反比例函数的定义域是除分母中消失的实数之外的所有实数。因为分母永远不可能为零，否则会导致无穷大。

作为示例，我们将确定以下反比例函数的域：

要知道分母何时为零，我们必须将其表达式等于 0 并求解方程：

因此，当 x 取值为 1 时，分母将为零，我们将获得不确定性。所以函数的定义域是所有实数减去

如何绘制反比例函数的图像

我们将通过示例了解如何绘制反比例函数的图表。

• 我们将在图中表示以下函数：

我们需要做的第一件事是找到函数的定义域。作为分数，分母永远不可能为 0，因为那样会导致无穷大。因此，除非分母被取消，否则定义域将全部为 x。

因此，我们将分母设置为 0，以查看哪个 x 不属于该域：

因此，函数的定义域是除 2 之外的所有数字：

一旦我们知道哪个数字不属于该域，我们就创建一个值表。为了表示反比例函数，需要计算不属于域(2)的数左边的3或4个点和右边的3或4个点：

现在让我们在图表上表示点：

最后我们将这些点连接起来，形成反比例函数的两条双曲线。此外，我们延长双曲线的分支以表明它们继续增长：

请注意，该函数近似于

，在右侧和左侧。然而，它从未完全达到 2，它非常接近但从未达到 2。所以，

它是一条垂直渐近线。这是因为

不属于该函数的域，因此该函数在该点不存在。

水平 X 轴也会发生同样的情况。该函数近似为

但永远不要碰它。然而，

是一条水平渐近线。

这意味着所有反比例函数都是不连续的，因为它们总是有渐近线。

您可以在我们的网站上了解有关渐近线和函数极限的更多信息。

解决了反比例函数的问题

练习1

计算以下反比例函数的域：

当分母为 0 时，反比例函数将不存在，因为此时该函数将产生 ∞。因此，我们需要将函数的分母设置为0，才能看到x抵消了分母，因此不属于定义域。

练习2

绘制以下反比例函数的图像：

首先要做的是计算函数的域：

一旦我们知道哪个数字不属于该域，我们就可以使用以下函数创建一个值数组：

最后，我们将得到的点表示在图上并绘制双曲线，从而形成反比例函数：

练习3

绘制以下反比例函数的图像：

首先要做的是计算函数的域：

一旦我们知道了函数的域，我们就构建一个值表：

最后，我们将获得的点表示在图表上并绘制双曲线，从而形成反比例函数：

练习4

绘制以下反比例函数的图像：

首先，我们需要计算函数的定义域：

一旦我们知道了函数的域，我们就创建一个值数组：

最后，我们将获得的点表示在图表上，并绘制双曲线，从而形成反比例函数：

练习5

画出以下有理函数的图形：

首先要做的是计算函数的域：

一旦我们知道了函数的域，我们就构建一个值表：

最后，只需在图表上表示获得的点并绘制双曲线，从而形成分数函数：

反比例函数的应用

反比例函数在物理和数学中经常出现。

例如，它用于描述在恒定温度k下的理想气体中压力与体积之间的关系。该函数称为波伊尔-马里奥特定律 (P×V=k)，是反比例函数的一个示例。显然，该函数的定义域仅限于正分支，因为不存在负体积或压力。

恒定电势差下的电流强度和电阻之间的关系也受反比例函数控制。该函数称为欧姆定律 (V=I×R)。