双曲余切值的导数

在这里，我们解释如何导出函数的双曲余切值。您还可以找到双曲余切值导数的示例。

双曲余切值的导数公式

x 的双曲余切值的导数等于减去 x 的平方的双曲余割值。

$f(x)=\text{cotgh}(x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=-\text{cosech}^2(x)$

因此，函数双曲余切的导数减去函数的双曲余割乘以该函数的导数。

$f(x)=\text{cotgh}(u)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=-\text{cosech}^2(u)\cdot u'$

请记住，在第二个公式中应用了链式法则，并且当双曲余切参数中存在 x 以外的函数时，将使用该公式。

您可能会在一些数学书籍中发现余切的导数是另一个，因为以下三个表达式是等效的：

$f'(x)=-\text{cosech}^2(x)=1-\text{cotgh}^2(x)=-\cfrac{1}{\text{senh}^2(x)}$

显然，您可以使用这三个表达式中的任何一个来导出双曲余切值，但最常用的是双曲余割平方。

一旦我们知道了函数双曲余切值的导数公式是什么，我们就可以求解此类三角导数的几个例子。

在这个例子中，我们将看到函数 2x 的双曲余切值的导数是什么。

$f(x)=\text{cotgh}(2x)$

在双曲余切参数中，我们有一个 x 以外的函数，因此我们需要使用带有链式法则的公式来进行推导：

$f(x)=\text{cotgh}(u)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=-\text{cosech}^2(u)\cdot u'$

由于 2x 是一次项，其导数为 2。因此，要求 2x 双曲余切的导数，我们只需将 2x 放入双曲余割的平方参数中，然后乘以 2。

$f(x)=\text{cotgh}(2x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=-\text{cosech}^2(2x)\cdot 2$

在第二个示例中，我们将确定多项式函数双曲余切值的导数值。

$f(x)=\text{cotgh}(3x^4-5x)$

正如我们在上面看到的，导出函数双曲余切的规则如下：

$f(x)=\text{cotgh}(u)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=-\text{cosech}^2(u)\cdot u'$

因此，本练习的双曲余切值的导数如下：

$f(x)=\text{cotgh}(3x^4-5x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=-\text{cosech}^2(3x^4-5x)\cdot(12x^3-5)$