在本文中，您将了解如何计算函数的最大值和最小值，我们将通过逐步解决两个示例来向您解释。此外，您将能够逐步练习函数的最大值和最小值。
函数的最大值和最小值是多少？
函数的最大值是函数的最大值，函数的最小值是函数的最小值。当函数的最大值和最小值仅表示其环境中的最大或最小值时，它们是相对极值，但当它们表示整个函数的最大或最小值时，它们是绝对极值。
您还可以通过研究函数的增长和下降来识别相对极值：
- 点是函数从增加到减少时的相对最大值。
- 当函数从减少到增加时，点是相对最小值。
如何求函数的最大值和最小值
根据函数的一阶导数和二阶导数，我们可以知道函数在某点是否存在相对极值，以及该点是相对最大值还是相对最小值：
- 函数具有相对于抵消其一阶导数的点的极值。
- 函数二阶导数的符号决定该点是最大值还是最小值：
- 如果二阶导数为负，则函数在该点具有相对最大值。
- 如果二阶导数为正，则函数在该点具有相对最小值。
- 计算以下函数的相对极值并确定它们是最大值还是最小值：
- 研究单调性并计算以下函数的相对极值：
示例 1：如何计算函数的最大值和最小值
一旦我们了解了函数的最大值和最小值的定义，我们将逐步解决一个示例，以便您了解如何计算函数的最大值和最小值。
函数的相对极值将是满足以下条件的点
。因此，我们首先计算函数的导数：
现在我们将函数的导数设置为零并求解所得的二次方程：
因此，函数的相对极值是 x=+1 和 x=-1。
一旦我们知道了函数的相对极值，我们就可以通过二阶导数的符号知道它们是最大值还是最小值。因此，我们计算函数的二阶导数：
现在我们在二阶导数中评估我们之前发现的相对极值，以了解它们是相对最大值还是最小值：
相对最小值
最大相对值
x=1 处的二阶导数为正，因此x=1 是相对最小值。另一方面，x=-1 处的二阶导数为负，因此x=-1 是相对最大值。
最后，我们将找到的点代入原始函数以找到相对极值的 Y 坐标：
总之，函数的相对极值是：
最小到点
最大接通点
示例 2：研究函数的单调性以及最大值和最小值
现在我们看看另一种练习是如何解决的。在本例中，我们将解释如何根据函数的单调性找到最大值和最小值。
首先要做的是计算函数的定义域。作为有理函数，我们需要将分母设置为 0 来查看哪些数字不属于函数的定义域：
一旦我们计算出函数的定义域，我们就需要研究哪些点抵消一阶导数。因此我们推导出函数：
现在我们将导数设置为 0 并求解方程：
期限
这涉及到将整个左侧除，因此我们可以将其乘以整个右侧：
我们提取公因子来求解二次方程：
为了使乘法等于 0，乘法的两个元素之一必须为零。因此，我们将每个因子设置为 0，并得到方程的两个解：
![\displaystyle x\cdot(x-2) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] x-2=0 \ \longrightarrow \ \bm{x= 2} \end{cases}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55127e675ce8f7742db17d565c2ae507_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
一旦我们计算了函数的域并且
，我们表示线上找到的所有关键点：
我们评估每个区间内导数的符号，以了解函数是增加还是减少。为此，我们在每个区间中取一个点（而不是临界点）并查看导数在该点的符号：
如果导数为正，则表示函数在增，如果导数为负，则表示函数在减。因此，增长区间和下降区间为：
生长：
减少：
此外，当 x=0 时，函数从增加变为减少，因此x=0 是函数 的相对最大值。当 x=2 时，函数从递减变为递增，因此x=2 是函数的相对最小值。
最后，我们替换在原始函数中找到的点来找到端点的 Y 坐标：
简而言之，函数的相对极值是：
最大接通点
最小到点
解决了函数的最大值和最小值的练习
练习1
计算以下多项式函数的相对极值并确定它们是最大值还是最小值：
查看解决方案函数的相对极值是函数的一阶导数为零的点。因此我们计算函数的导数：
现在我们解方程
我们有一个二次方程，所以我们应用一般公式来求解它：
![\begin{aligned} x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 3 \cdot (-9)}}{2\cdot 3}=\\[1.5ex]&=\cfrac{6 \pm \sqrt{144}}{6}=\cfrac{6 \pm 12}{6} =\begin{cases} \cfrac{6 + 12}{6}=\cfrac{18}{6}= 3 \\[4ex] \cfrac{6 - 12}{6}=\cfrac{-6}{6}=-1 \end{cases} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e4a1d5ede3779d54c8b9b66571a3394_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
因此，函数的相对极值是点 x=3 和 x=-1。
一旦我们知道了函数的相对极值，我们就可以通过二阶导数的符号知道它们是最大值还是最小值。因此我们再次对函数进行微分：
现在我们用二阶导数计算之前计算的点：
x=3 处的二阶导数为正，因此x=3 是最小值。 x=-1 处的二阶导数为负，因此x=-1 是最大值。
最后，我们替换在原始函数中找到的点来找到端点的 Y 坐标：
简而言之，函数的相对极值是：
相对于点的最小值
相对于点的最大值
练习2
计算以下指数函数的相对极值并确定它们是最大值还是最小值：
查看解决方案首先，我们需要区分函数。为此，我们应用乘积导数的公式：
现在我们解方程
![\displaystyle x\cdot e^x =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] e^x=0 \ \color{red}\bm{\times} \end{cases}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5c0d99b3aa4115c0415e0e57f5df2a5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
一个数乘以另一个数永远不会得到 0。因此，
无解，唯一相对极端的是
。
现在我们计算函数的二阶导数来知道相对极值是最大值还是最小值：
现在我们用二阶导数评估我们之前发现的极值，看看它是最大值还是最小值：
由于 x=0 处的二阶导数为正，因此 x=0 是相对最小值或局部最小值。
最后，我们用原函数中找到的点来求出另一端坐标：
因此，该函数的唯一相对极值是：
最小到点
练习3
研究单调性并找到以下有理函数的相对极值：
查看解决方案首先，我们确定函数的域。为此，我们将分数的分母设置为零并求解所得的二次方程：
表达方式
它永远不会是 0，因为 x 2的结果始终是正数或 0。因此，加 1 永远不会得到 0。因此，函数的定义域仅由实数组成：
接下来，我们研究哪些点符合
我们使用商规则对函数进行微分：
我们将导数设置为 0 并求解方程：
我们有一个二次方程，所以我们用一般公式来求解：
![\begin{aligned}x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot (-1) \cdot 1}}{2\cdot (-1)} = \\[1.5ex]&=\cfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{-2} =\begin{cases} \cfrac{-2 + \sqrt{8}}{-2}= -0,41 \\[4ex] \cfrac{-2 - \sqrt{8}}{-2}= 2,41\end{cases} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-836d878f15098c1fe997fbb0392b8733_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
一旦我们计算了函数的域并且
，我们表示数轴上找到的所有奇异点：
现在我们评估每个区间内导数的符号，以确定函数是递增还是递减。因此，我们在每个区间中取一个点（而不是奇点）并查看此时导数的符号：
如果导数为正，则表示函数在该区间内递增，但如果导数为负，则表示函数在递减。因此，增长区间和下降区间为：
生长：
减少：
在 x=-0.41 处，函数从递减变为递增，因此x=-0.41 是函数的局部最小值。并且函数在 x=2.41 处从增加变为减少，因此x=2.41 是该函数的局部最大值。
最后，我们将找到的极值代入原始函数以求出点的 Y 坐标：
因此，该函数的相对极值是：
最小到点
最大接通点
练习4
我们知道函数
通过点
并且有一个相对极端的
确定未知数的值
和价值
查看解决方案令函数有相对极值
这意味着它已经完成了
因此，我们计算函数的导数
我们将其设置为 0：
![\left. \begin{array}{l} f'(-1)=2(-1)+a\\[2ex] f'(-1)=0\end{array} \right\} \longrightarrow 2(-1)+a=0](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1786074f9a3b69a0c2a13a0db7a67895_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
我们求解得到的方程来找到参数a的值：
因此，该函数将是：
另一方面，他们告诉我们函数通过点
也就是说，
因此，我们可以应用这个条件来求变量 b 的值：
![\left. \begin{array}{l} f(1)=1^2+2\cdot1+b \\[2ex] f(1)=-2 \end{array} \right\} \longrightarrow 1^2+2\cdot 1+b = -2](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6c09bb57a4a4fd3eb5d72f5d35d3c539_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
我们求解得到的方程来找到参数 b 的值：
因此该函数为：
