函数的表示 -

在本文中，我们将了解如何在图形上表示任何类型的函数。此外，您还将找到有关在图表上表示函数的已解决的分步练习。

如何在图上表示函数

要在图形上表示函数，必须执行以下步骤：

求函数的定义域。
使用笛卡尔轴计算函数的截止点。
计算函数的渐近线。
研究函数的单调性并找出其相对极值。
研究函数的曲率并找到其拐点。
绘制截止点、渐近线、相对极值和拐点，然后绘制函数。

表示函数的示例

为了让您能够看到函数是如何以图形方式表示的，我们将逐步解决以下练习：

在图上绘制以下有理函数：

$f(x)=\cfrac{x^2}{x-1}$

首先要做的是计算函数的定义域。这是一个有理函数，因此我们需要将分母设置为零，以查看哪些数字不属于函数的定义域：

$x-1=0$

$x=1$

因此，当 x 为 1 时，分母将为 0，因此该函数将不存在。因此，函数的域由除 x=1 之外的所有实数组成。

$\text{Dom } f= \mathbb{R}-\{1 \}$

为了找到与 X 轴的交点，我们必须求解方程

$f(x)= 0.$

由于该函数在 X 轴上的值始终为 0：

$f(x)=0$

$\cfrac{x^2}{x-1} = 0$

期限

$x -1$

这涉及到将整个左侧除，因此我们可以将其乘以整个右侧：

$x^2 = 0 \cdot (x-1)$

$x^2 = 0$

$x = 0$

因此与 OX 轴的交点为：

$\bm{(0,0)}$

为了找到与 Y 轴的交点，我们计算

$f(0).$

因为 x 在 Y 轴上始终为 0：

$f(0)=\cfrac{0^2}{0-1} = \cfrac{0}{-1} = 0$

因此，与OY轴的分界点为：

$\bm{(0,0)}$

在这种情况下，当函数通过坐标原点时，与X轴的交点与与Y轴的交点重合。

一旦我们知道了域和截止点，我们就需要计算函数的渐近线。

要查看函数是否具有垂直渐近线，我们需要计算函数在不属于定义域的点处的极限（在本例中 x=1）。如果结果是无穷大，则它是垂直渐近线。然而：

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \ \cfrac{x^2}{x-1} = \cfrac{1^2}{1-1} = \cfrac{1}{0} = \infty$

由于当 x 趋于 1 时函数的极限给出无穷大，因此 x=1 是垂直渐近线：

一旦计算出垂直渐近线，就需要计算函数相对于它的横向极限。因为我们不知道函数从左侧接近 x=1 时是否会趋于 -∞ 还是 +∞，并且我们也不知道函数何时从右侧接近 x=1。

因此，我们继续计算函数在 x=1 处的左侧极限：

$\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}} \cfrac{x^2}{x-1}$

为了数值计算某个点的横向边界，我们必须将一个数字代入非常接近该点的函数中。在本例中，我们希望左侧有一个非常接近 1 的数字，例如 0.9。因此，我们将点 0.9 代入函数中：

$\cfrac{0,9^2}{0,9-1}=\cfrac{0,81}{-0,1}=-81$

渐近线的横向极限只能给出+∞或-∞。由于将左侧非常接近 1 的数字代入函数中，我们得到了负结果，因此左侧的极限为 -∞：

$\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}} \cfrac{x^2}{x-1} = \bm{-\infty}$

现在我们对右侧边界执行相同的过程：

$\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \cfrac{x^2}{x-1}$

我们将右边一个非常接近 1 的数字代入函数中。例如第1.1点：

$\cfrac{1,1^2}{1,1-1}=\cfrac{1,21}{0,1}=+12,1$

在这种情况下，侧极限结果是正数。因此右边的极限是+∞：

$\displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} \cfrac{x^2}{x-1} = \bm{+\infty}$

总之，当 x=1 时，函数趋向于左边为负无穷大，右边为正无穷大：

另一方面，函数的水平渐近线将是函数无限极限的结果。然而：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ \cfrac{x^2}{x-1} = \cfrac{+\infty}{+\infty } =+\infty$

记住如何计算有理函数的无限极限：

$\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty}}\frac{a_nx^r+a_{n-1}x^{r-1}+a_{n-2}x^{r-2}+\dots}{b_nx^s+b_{n-1}x^{s-1}+b_{n-2}x^{s-2}+\dots}=\left\{ \begin{array}{lcl} 0 & \text{si} & r<s \\[3ex]="" \cfrac{a_n}{b_n}="" &="" \text{si}="" r="s" \\[5ex]="" \pm="" \infty="">s \end{array}\right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”139″ width=”767″ style=”vertical-align: 0px;”> </div> 函数的无限极限给了我们+∞，因此函数没有水平渐近线。 我们现在计算斜渐近线。斜渐近线的形式为 <p class=$ $y=mx+n$

。和

$m$

其计算公式如下：

$\displaystyle m = \lim_{x \to +\infty} f(x):x$

$\displaystyle m = \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x-1}:x$

x 就好像它有 1 作为分母：

$\displaystyle m = \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{x-1}:\cfrac{x}{1}$

这是分数除法，所以我们将它们横向相乘：

$\displaystyle m = \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2 \cdot 1 }{(x-1) \cdot x}$

$\displaystyle m = \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2 }{x^2-x}$

我们计算极限：

$\displaystyle m = \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2 }{x^2-x} = \cfrac{+\infty}{+\infty } = \cfrac{1}{1} = 1$

所以m=1。现在我们计算

$n$

具有以下公式：

$\displaystyle n = \lim_{x \to +\infty} \bigl[f(x)-mx\bigr]$

$\displaystyle n = \lim_{x \to +\infty} \left[\cfrac{x^2}{x-1}-1x\right] = \cfrac{+\infty}{+\infty} -(+\infty) = +\infty - \infty$

但是我们得到了不确定性无穷大减去无穷大，所以我们必须将这些项减少到一个公分母。为此，我们将 x 项乘以并除以分数的分母：

$\displaystyle n = \lim_{x \to +\infty}\left[\cfrac{x^2}{x-1}-x\right] = \lim_{x \to +\infty} \left[\cfrac{x^2}{x-1}-\cfrac{x\cdot (x-1)}{x-1} \right] = \lim_{x \to +\infty} \left[\cfrac{x^2}{x-1}-\cfrac{x^2-x}{x-1}\right]$

现在这两项具有相同的分母，我们可以将它们分组：

$\displaystyle n = \lim_{x \to +\infty} \left[\cfrac{x^2-(x^2-x)}{x-1} \right] =\lim_{x \to +\infty} \left[\cfrac{x}{x-1} \right]$

最后我们解决极限：

$\displaystyle n =\lim_{x \to +\infty} \left[\cfrac{x}{x-1} \right] = \cfrac{+\infty}{+\infty} = \cfrac{1}{1} = 1$

因此 n = 1。因此斜渐近线为：

$y = mx+n$

$y = 1x+1$

$\bm{y = x+1}$

一旦我们计算了斜渐近线，我们就通过制作一个值表将其表示在同一张图表上：

$y=x+1$

$\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array}$

现在我们知道了函数的所有渐近线，我们需要分析函数的单调性。也就是说，我们需要研究函数在哪些区间增加以及在哪些区间减少。因此，我们计算函数的一阶导数：

$f(x)=\cfrac{x^2}{x-1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{2x\cdot (x-1) - x^2 \cdot 1}{(x-1)^2}$

$f'(x)= \cfrac{2x^2-2x - x^2}{(x-1)^2} = \cfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}$

现在我们将导数设置为 0 并求解方程：

$f'(x)=0$

$\cfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}=0$

期限

$\left(x-1\right)^2}$

这涉及到将整个左侧除，因此我们可以将其乘以整个右侧：

$x^2-2x=0\cdot \left(x-1\right)^2$

$x^2-2x=0$

我们提取公因子来求解二次方程：

$x(x-2)=0$

为了使乘法等于 0，乘法的两个元素之一必须为零。因此，我们将每个因子设置为0，并得到方程的两个解：

$\displaystyle x\cdot(x-2) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] x-2=0 \ \longrightarrow \ \bm{x= 2} \end{cases}$

现在我们在数轴上表示所有找到的临界点，即不属于定义域的点 (x=1) 和取消导数的点 (x=0 和 x=2)：

我们评估每个区间内导数的符号，以了解函数是增加还是减少。因此，我们在每个区间取一个点（而不是临界点）并查看导数在该点的符号：

$f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}$

$f'(-1) = \cfrac{(-1)^2-2(-1)}{\left((-1)-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}$

$f'(0,5) = \cfrac{0,5^2-2\cdot 0,5}{\left(0,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f'(1,5) = \cfrac{1,5^2-2\cdot 1,5}{\left(1,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f'(3) = \cfrac{3^2-2\cdot 3}{\left(3-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}$

如果导数为正，则表示函数在增，如果导数为负，则表示函数在减。因此，增长区间和下降区间为：

生长：

$\bm{(-\infty, 0)\cup (2,+\infty)}$

减少：

$\bm{(0,1)\cup (1,2)}$

此外，当 x=0 时，函数从增加变为减少，因此 x=0 是函数的相对最大值。当 x=2 时，函数从递减变为递增，因此 x=2 是函数的相对最小值。

最后，我们将找到的极值代入原始函数以找到点的 Y 坐标：

$f(0)=\cfrac{0^2}{0-1} = \cfrac{0}{-1} = 0 \ \longrightarrow \ (0,0)$

$f(2)=\cfrac{2^2}{2-1} = \cfrac{4}{1} = 4 \ \longrightarrow \ (2,4)$

因此，该函数的相对极值是：

最大接通点

$\bm{(0,0)}$

最小到点

$\bm{(2,4)}$

我们在图表上表示最大值和最小值：

最后，研究函数的曲率就足够了，也就是说研究函数的凹凸区间。为此，我们计算其二阶导数：

$f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{(x-1)^2} \ \longrightarrow \ f''(x)= \cfrac{(2x-2)\cdot (x-1)^2- (x^2-2x)\cdot 2(x-1)\cdot 1}{\left(\left(x-1\right)^2\right)^2}$

$f''(x)= \cfrac{(2x-2)\cdot (x-1)^2- (x^2-2x)\cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}$

$f''(x)= \cfrac{(2x-2)\cdot (x-1)^{\cancel{2}}- (x^2-2x)\cdot 2\cancel{(x-1)}}{(x-1)^{\cancelto{3}{4}}} = \cfrac{(2x-2)\cdot (x-1)- (x^2-2x)\cdot 2}{(x-1)^3}$

$f''(x)= \cfrac{2x^2-2x-2x+2- (2x^2-4x)}{(x-1)^3} =\cfrac{2x^2-2x-2x+2- 2x^2+4x}{(x-1)^3}$

$f''(x) =\cfrac{2}{(x-1)^3}$

现在我们将二阶导数设置为零并求解方程：

$f''(x)=0$

$\cfrac{2}{(x-1)^3} =0$

$2=0\cdot \left(x-1\right)^3$

$2=0$

2 永远不会等于 0，所以等式

$f''(x)=0$

没有解决办法。

现在，我们在数轴上表示所有找到的临界点，也就是说，不属于定义域 (x=1) 的点和取消二阶导数的点（在这种情况下，没有一个点不是）：

然后我们评估每个区间内导数的符号，以了解该函数是凸函数还是凹函数。因此，我们在每个区间中取一个点（而不是奇点）并查看此时导数的符号：

$f''(x) =\cfrac{2}{(x-1)^3}$

$f''(0) =\cfrac{2}{(0-1)^3} = \cfrac{2}{-1}=-2 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f''(2) =\cfrac{2}{(2-1)^3} = \cfrac{2}{1}=2 \ \rightarrow \ \bm{+}$

最后推导出函数的凹凸区间。如果二阶导数为正，则表示该函数是凸函数。

$(\bm{\cup})$

，如果二阶导数为负，则意味着该函数是凹函数

$(\bm{\cap})$

。因此，凹度和凸度区间为：

凸面

$(\bm{\cup})$

$\bm{(1,+\infty)}$

凹

$(\bm{\cap})$

$\bm{(-\infty,1)}$

然而，即使 x=1 处曲率发生变化，它也不是拐点。因为x=1不属于函数的定义域。

所以我们可以使用我们计算的所有内容来完成表示函数：

因此，图表上表示的函数如下所示：

解决了表示函数的练习

练习1

绘制以下多项式函数的图形：

$\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+4$

查看解决方案

首先要做的是计算函数的定义域。这是一个多项式函数，因此域仅由实数组成：

$\text{Dom } f= \mathbb{R}$

为了找到与 X 轴的交点，我们求解

$f(x)= 0.$

$f(x)=0$

$x^3-3x^2+4=0$

这是一个大于 2 次的方程。因此，我们对方程进行因式分解：

$(x+1)(x^2-4x+4)=0$

所以x=-1是一个解。我们通过求解所得到的二次方程来计算其他解：

$\begin{aligned}x & =\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot 1} \\[2ex] &=\cfrac{+4 \pm \sqrt{16-16}}{2} =\cfrac{4 \pm \sqrt{0}}{2} = \cfrac{4 }{2 } = 2\end{aligned}$

因此与 X 轴的交点为：

$\bm{(-1,0)}$

和

$\bm{(2,0)}$

为了找到与 Y 轴的交点，我们计算

$f(0).$

由于 x 在 Y 轴上始终为 0：

$f(0)=0^3-3\cdot0^2+4 = 4$

因此与 Y 轴的交点为：

$\bm{(0,4)}$

要查看函数是否具有垂直渐近线，我们需要计算函数在不属于定义域的点处的极限。在这种情况下，域包括所有实数。因此该函数没有垂直渐近线。

另一方面，函数的水平渐近线将是函数无限极限的结果。然而：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ x^3-3x^2+4 =(+\infty)^3 = +\infty$

函数的无限极限给了我们+∞，因此函数没有水平渐近线。

我们现在计算斜渐近线。斜渐近线的形式为

$y=mx+n.$

和

$m$

其计算公式如下：

$\displaystyle m = \lim_{x \to +\infty} f(x):x = \lim_{x \to +\infty} \left( x^3-3x^2+4\right): x =$

$\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3-3x^2+4}{x} = \cfrac{+\infty}{+\infty} = +\infty$

极限给了我们+∞，因此该函数也没有斜渐近线。

为了研究函数的单调性，我们首先要计算它的导数：

$f(x)= x^3-3x^2+4 \ \longrightarrow \ f'(x)= 3x^2-6x$

现在我们将导数设置为 0 并求解方程：

$f'(x)= 0$

$3x^2-6x=0$

$x(3x-6)=0$

$\displaystyle x\cdot(3x-6) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] 3x-6=0 \ \longrightarrow \ x= \cfrac{6}{3} = 2 \end{cases}$

现在，我们在数轴上表示所有获得的奇异点，即不属于定义域的点（在本例中，它们都属于）和取消导数的点（x=0 和 x=2） :

我们评估每个区间内导数的符号，以了解函数是增加还是减少。因此，我们在每个区间中取一个点（而不是奇点）并查看此时导数的符号：

$f'(-1)=3(-1)^2-6(-1)= 3+6 = 9\ \rightarrow \ \bm{+}$

$f'(1)=3\cdot 1^2-6\cdot 1= 3-6 = -3\ \rightarrow \ \bm{-}$

$f'(3)=3\cdot 3^2-6\cdot 3= 27-18 = 9\ \rightarrow \ \bm{+}$

如果导数为正，则表示函数在增，如果导数为负，则表示函数在减。因此，增长区间和下降区间为：

生长：

$\bm{(-\infty,0)\cup (2,+\infty)}$

减少：

$\bm{(0,2)}$

该函数在 x=0 处从增加变为减少，因此 x=0 是该函数的最大值。当 x=2 时，函数从递减变为递增，因此 x=2 是函数的最小值。

最后，我们将找到的极值代入原始函数以求出点的 Y 坐标：

$f(0)=0^3-3\cdot 0^2+4 = 4 \ \longrightarrow \ (0,4)$

$f(2)=2^3-3\cdot 2^2+4 = 8-3 \cdot 4 +4 = 0 \ \longrightarrow \ (2,0)$

因此，该函数的相对极值是：

最大接通点

$\bm{(0,4)}$

最小到点

$\bm{(2,0)}$

为了研究函数的曲率，我们计算它的二阶导数：

$f'(x)= 3x^2-6x \ \longrightarrow \ f''(x)= 6x-6$

现在我们将二阶导数设置为 0 并求解方程：

$f''(x)= 0$

$6x-6=0$

$6x=6$

$x= \cfrac{6}{6} = 1$

我们在线上表示所有找到的奇异点，也就是说，不属于定义域的点（在这种情况下它们都属于）和取消导数的点（x=1）：

现在我们评估每个区间内的二阶导数的符号，以了解该函数是凹函数还是凸函数。因此，我们在每个区间中取一个点（而不是奇点）并查看此时二阶导数的符号：

$f''(0)=6\cdot 0-6= -6 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f''(2)=6\cdot 2-6= 12-6= 6 \ \rightarrow \ \bm{+}$

如果二阶导数为正，则表示该函数是凸函数。

$(\bm{\cup})$

，如果二阶导数为负，则意味着该函数是凹函数

$(\bm{\cap})$

。因此，凹度和凸度区间为：

凸面

$(\bm{\cup})$

$\bm{(1,+\infty)}$

凹

$(\bm{\cap})$

$\bm{(-\infty,1)}$

另外，函数在 x=1 处由凹变为凸，因此 x=1 是函数的拐点。

最后，我们将找到的拐点代入原函数，求出这些点的 Y 坐标：

$f(1)=1^3-3\cdot 1^2+ 4= 1 -3 +4 =2 \ \longrightarrow \ (1,2)$

因此，函数的转折点为：

转折点：

$\bm{(1,2)}$

最后，根据我们计算出的所有信息，我们绘制函数图：

练习2

画出以下有理函数的图形：

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2}{x^2-1}$

查看解决方案

为了找到函数的定义域，我们将分母设置为相等。将分数归零并求解所得方程：

$x^2-1= 0$

$x^2=1$

$\sqrt{x^2}=\sqrt{1}$

$x=\pm 1$

$\text{Dom } f= \mathbb{R}-\{-1, +1 \}$

其次，我们确定函数的阈值，其中 x 轴等于函数的代数表达式。钢：

$f(x)=0$

$\cfrac{x^2+2}{x^2-1}=0$

$x^2+2=0\cdot (x^2-1)$

$x^2+2=0$

$x^2=-2$

$x=\sqrt{-2} \quad \color{red}\bm{\times}$

负数没有平方根。因此，该函数不与 X 轴相交。

为了找到与计算机轴的交点，我们在 x=0 处计算函数。

$f(0)=\cfrac{0^2+2}{0^2-1}= \cfrac{2}{-1} = -2$

因此与 Y 轴的交点为：

$\bm{(0,-2)}$

要查看函数是否具有垂直渐近线，我们需要计算函数在不属于定义域的点处的极限（在本例中为 x=-1 和 x=+1）。如果结果是无穷大，则它是垂直渐近线。然而：

$\displaystyle \lim_{x \to -1} \cfrac{x^2+2}{x^2-1} = \cfrac{(-1)^2+2}{(-1)^2-1} =\cfrac{1+2}{1-1}= \cfrac{3}{0} = \infty$

由于当 x 接近 -1 时函数的极限给出无穷大，因此 x=-1 是垂直渐近线。

我们通过将一个非常接近它的数字代入函数来计算渐近线 x=-1 的横向极限：

$\displaystyle f(-1,1)=\cfrac{(-1,1)^2+2}{(-1,1)^2-1} =+15,29 \longrightarrow \lim_{x \to -1^{-}} \ \cfrac{x^2+2}{x^2-1} = +\infty$

$\displaystyle f(-0,9)=\cfrac{(-0,9)^2+2}{(-0,9)^2-1} =-14,79 \longrightarrow \lim_{x \to -1^{+}} \ \cfrac{x^2+2}{x^2-1} = -\infty$

现在让我们看看 x=+1 是否是垂直渐近线：

$\displaystyle \lim_{x \to +1} \cfrac{x^2+2}{x^2-1} = \cfrac{1^2+2}{1^2-1} =\cfrac{1+2}{1-1}= \cfrac{3}{0} = \infty$

由于当 x 接近 +1 时函数的极限给出无穷大，因此 x=+1 是垂直渐近线。

我们通过将一个非常接近它的数字代入函数来计算渐近线 x=1 的横向极限：

$\displaystyle f(0,9)=\cfrac{(0,9)^2+2}{(0,9)^2-1} =-14,79 \longrightarrow \lim_{x \to +1^{-}} \ \cfrac{x^2+2}{x^2-1} = -\infty$

$\displaystyle f(1,1)=\cfrac{(1,1)^2+2}{(1,1)^2-1} =+15,29 \longrightarrow \lim_{x \to +1^{+}} \ \cfrac{x^2+2}{x^2-1} = +\infty$

另一方面，函数的水平渐近线将是函数无限极限的结果。然而：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ \cfrac{x^2+2}{x^2-1} = \cfrac{+\infty}{+\infty } =\cfrac{1}{1} = 1$

该函数的无限极限为 1，因此该函数在 y=1 处有一条水平渐近线。

由于该函数具有水平渐近线，因此不会有斜渐近线。

我们对函数进行微分，然后研究增长和下降的区间：

$f(x)=\cfrac{x^2+2}{x^2-1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{2x \cdot (x^2-1) -(x^2+2) \cdot 2x}{\left(x^2-1 \right)^2}$

$f'(x)= \cfrac{2x^3-2x - (2x^3+4x) }{\left(x^2-1 \right)^2} = \cfrac{-6x}{\left(x^2-1 \right)^2}$

现在我们将导数设置为 0 并求解方程：

$f'(x)= 0$

$\cfrac{-6x}{\left(x^2-1 \right)^2}=0$

$-6x=0\cdot\left(x^2-1 \right)^2$

$-6x= 0$

$x=\cfrac{0}{-6} = 0$

我们在线上表示所有计算出的临界点，这些点是不属于定义域的点（x=-1 和 x=+1）以及取消导数的点（x=0）：

我们评估每个区间内导数的符号，以了解函数是增加还是减少。因此，我们在每个区间中取一个点（而不是奇点）并查看此时导数的符号：

$f'(-2)= \cfrac{-6(-2)}{\left((-2)^2-1 \right)^2} = \cfrac{12}{9} =1,33 \ \rightarrow \ \bm{+}$

$f'(-0,5)= \cfrac{-6(-0,5)}{\left((-0,5)^2-1 \right)^2} = \cfrac{3}{0,56} =5,33 \ \rightarrow \ \bm{+}$

$f'(0,5)= \cfrac{-6\cdot 0,5}{\left(0,5^2-1 \right)^2} = \cfrac{-3}{0,56} =-5,33 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f'(2)= \cfrac{-6\cdot 2}{\left(2^2-1 \right)^2} = \cfrac{-12}{9} =-1,33 \ \rightarrow \ \bm{-}$

当导数为正时，函数增大；当函数为负时，函数减小：

生长：

$\bm{(-\infty,-1)\cup (-1,0)}$

减少：

$\bm{(0,1)\cup (1,+\infty)}$

该函数在 x=0 处从增加变为减少，因此 x=0 是该函数的局部最大值。

将找到的极值代入原函数即可求出该点的Y坐标：

$f(0)=\cfrac{0^2+2}{0^2-1}= \cfrac{2}{-1} = -2 \ \longrightarrow \ (0,-2)$

因此，该函数的相对极值是：

最大接通点

$\bm{(0,-2)}$

为了研究函数的曲率，我们计算它的二阶导数：

$f'(x)=\cfrac{-6x}{\left(x^2-1 \right)^2} \ \longrightarrow <img src="https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-273969cf60ee8cf3413ee2f8b1db7688_l3.png" height="129" width="476" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\[f''(x)= \cfrac{-6 \cdot \left(x^2-1 \right)^2 - (-6x) \cdot 2(x^2-1) \cdot 2x}{ \left(\left(x^2-1 \right)^2\right)^2}$$ f''(x)= \cfrac{-6 \left(x^2-1 \right)^2 -(-6x)\cdot 4x(x^2-1)}{\left(x^2 -1\right)^4} =\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> \cfrac{-6 \left(x^2-1 \right)^2 + 24x^2(x^2-1)}{\left(x^2 -1\right)^4}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”> <p class=$ 所有条款都有

$(x^2-1)$

，因此我们可以简化分数：

$f''(x)= \cfrac{-6 \left(x^2-1 \right)^{\cancel{2}} + 24x^2\cancel{(x^2-1)}}{\left(x^2-1 \right)^\cancelto{3}{4}} =\cfrac{-6 \left(x^2-1 \right) + 24x^2}{\left(x^2 -1\right)^3}$

$f''(x)= \cfrac{-6x^2+6 + 24x^2}{\left(x^2 -1\right)^3} =\cfrac{18x^2+6}{\left(x^2 -1\right)^3}$

现在我们将二阶导数设置为 0 并求解方程：

$f''(x)= 0$

$\cfrac{18x^2+6}{\left(x^2 -1\right)^3}=0$

$18x^2+6=0\cdot \left(x^2 -1\right)^3$

$18x^2+6= 0$

$18x^2=-6$

$x^2=\cfrac{-6}{18}$

$x^2=-0,33$

$x=\sqrt{-0,33} \quad \color{red}\bm{\times}$

负数没有平方根。所以没有匹配的点

$f''(x)=0$

现在我们在线上表示所有找到的奇异点，即不属于定义域的点（x=-1 和 x=+1）以及取消二阶导数的点（在这种情况下没有任何）：

我们评估每个区间内的二阶导数的符号，以了解该函数是凹函数还是凸函数。因此，我们在每个区间中取一个点（而不是奇点）并查看此时二阶导数的符号：

$f''(-2)=\cfrac{18(-2)^2+6}{\left((-2)^2 -1\right)^3}= \cfrac{78}{27} = 2,89 \ \rightarrow \ \bm{+}$

$f''(0)=\cfrac{18\cdot 0^2+6}{\left(0^2 -1\right)^3}= \cfrac{6}{-1} = -6 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f''(2)=\cfrac{18\cdot 2^2+6}{\left(2^2 -1\right)^3}= \cfrac{78}{27} = 2,89 \ \rightarrow \ \bm{+}$

如果二阶导数为正，则表示该函数是凸函数。

$(\bm{\cup})$

，如果二阶导数为负，则意味着该函数是凹函数

$(\bm{\cap})$

。因此，凹度和凸度区间为：

凸面

$(\bm{\cup})$

$\bm{(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)}$

凹

$(\bm{\cap})$

$\bm{(-1,1)}$

然而，尽管在 x=-1 和 x=1 处曲率发生变化，但这些都不是拐点。因为它们不属于函数域。

最后，我们使用执行的所有计算绘制函数图：

练习3

在图上绘制以下有理函数：

$\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}$

查看解决方案

这是一个有理函数，所以我们需要将分母设置为0，看看哪些数字不属于函数的定义域：

$x^2-4= 0$

$x^2=4$

$\sqrt{x^2}=\sqrt{4}$

$x=\pm 2$

$\text{Dom } f= \mathbb{R}-\{-2, +2 \}$

为了找到与 X 轴的交点，我们求解

$f(x)= 0.$

由于该函数在 X 轴上的值始终为 0：

$f(x)=0$

$\cfrac{x^3}{x^2-4}=0$

$x^3=0\cdot (x^2-4)$

$x^3=0$

$x=\sqrt[3]{0}=0$

因此与 X 轴的交点为：

$\bm{(0,0)}$

为了找到与 Y 轴的交点，我们计算

$f(0).$

由于 x 在 Y 轴上始终为 0：

$f(0)=\cfrac{0^3}{0^2-4} = \cfrac{0}{-4} = 0$

因此与 Y 轴的交点为：

$\bm{(0,0)}$

在这种情况下，由于函数经过坐标原点，因此与 X 轴的交点与与 Y 轴的交点重合。

要查看函数是否具有垂直渐近线，我们需要计算函数在不属于定义域的点处的极限（在本例中为 x=-2 和 x=+2）。如果结果是无穷大，则它是垂直渐近线。然而：

$\displaystyle \lim_{x \to -2} \cfrac{x^3}{x^2-4} = \cfrac{(-2)^3}{(-2)^2-4} =\cfrac{-8}{4-4}= \cfrac{-8}{0} = \infty$

由于当 x 接近 -2 时函数的极限给出无穷大，因此 x=-2 是垂直渐近线。

我们通过将一个非常接近它的数字代入函数来计算渐近线 x=-2 的横向极限：

$\displaystyle f(-2,1)=\cfrac{(-2,1)^3}{(-2,1)^2-4} =-22,59 \longrightarrow \lim_{x \to -2^{-}} \cfrac{x^3}{x^2-4} = -\infty$

$\displaystyle f(-1,9)=\cfrac{(-1,9)^3}{(-1,9)^2-4} =+17,59 \longrightarrow \lim_{x \to -2^{+}} \cfrac{x^3}{x^2-4} = +\infty$

现在让我们看看 x=+2 是否是垂直渐近线：

$\displaystyle \lim_{x \to +2} \cfrac{x^3}{x^2-4} = \cfrac{(2)^3}{(2)^2-4} =\cfrac{8}{4-4}= \cfrac{8}{0} = \infty$

由于当 x 接近 +2 时函数的极限给出无穷大，因此 x=+2 是垂直渐近线。

我们通过将一个非常接近它的数字代入函数来计算渐近线 x=2 的横向极限：

$\displaystyle f(1,9)=\cfrac{1,9^3}{1,9^2-4} =-17,59 \longrightarrow \lim_{x \to 2^{-}} \cfrac{x^3}{x^2-4} = -\infty$

$\displaystyle f(2,1)=\cfrac{2,1^3}{2,1^2-4} =22,59 \longrightarrow \lim_{x \to 2^{+}} \cfrac{x^3}{x^2-4} = +\infty$

另一方面，函数的水平渐近线将是函数无限极限的结果。然而：

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ \cfrac{x^3}{x^2-4} = \cfrac{+\infty}{+\infty } =+\infty$

函数的无限极限给了我们+∞，因此函数没有水平渐近线。

我们现在计算斜渐近线。斜渐近线的形式为

$y=mx+n.$

和

$m$

其计算公式如下：

$\displaystyle m = \lim_{x \to +\infty} f(x):x = \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3}{x^2-4}: x =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3}{x^2-4}: \frac{x}{1}$

$\displaystyle m =\lim_{x \to +\infty}\cfrac{x^3\cdot 1}{(x^2-4)\cdot x} =\lim_{x \to +\infty}\cfrac{x^3}{x^3-4x}$

$\displaystyle m =\lim_{x \to +\infty}\cfrac{x^3}{x^3-4x} = \frac{+\infty}{+\infty} = \frac{1}{1} = \bm{1}$

一旦我们知道斜渐近线的斜率，我们就可以使用以下公式确定截距：

$\displaystyle n = \lim_{x \to +\infty} \left[f(x)-mx\right] = \lim_{x \to +\infty} \left[ \cfrac{x^3}{x^2-4}-1x\right]$

$\displaystyle n = \lim_{x \to +\infty} \left[ \cfrac{x^3}{x^2-4}-x\right] = \cfrac{+\infty}{+\infty} - (+\infty) = \bm{+\infty - \infty}$

但我们得到了不确定性 ∞ – ∞。因此，有必要将这些术语简化为一个公分母。为此，我们将 x 除以分数的分母：

$\displaystyle n = \lim_{x \to +\infty} \left[ \cfrac{x^3}{x^2-4}-\cfrac{x \cdot (x^2-4)}{(x^2-4)}\right] =\lim_{x \to +\infty} \left[ \cfrac{x^3}{x^2-4}-\cfrac{x^3-4x}{x^2-4}\right]$

$\displaystyle n = \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^3- (x^3-4x)}{x^2-4} = \lim_{x \to +\infty} \cfrac{4x}{x^2-4}$

$\displaystyle n =\lim_{x \to +\infty} \cfrac{4x}{x^2-4} = \cfrac{+\infty}{\infty} =\bm{0}$

简而言之，斜渐近线是：

$y = mx+n$

$y = 1x + 0$

$\bm{y = x }$

为了研究函数的单调性，我们首先要计算它的导数：

$f(x)=\cfrac{x^3}{x^2-4} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{3x^2 \cdot (x^2-4) - x^3 \cdot 2x }{\left(x^2-4\right)^2}$

$f'(x)= \cfrac{3x^4-12x^2-2x^4}{\left(x^2-4\right)^2} = \cfrac{x^4-12x^2}{\left(x^2-4\right)^2}$

现在我们将导数设置为 0 并求解方程：

$f'(x)= 0$

$\cfrac{x^4-12x^2}{\left(x^2-4\right)^2}=0$

$x^4-12x^2=0\cdot \left(x^2-4\right)^2$

$x^4-12x^2=0$

$x^2(x^2-12)=0$

$\displaystyle x^2\cdot(x^2-12) =0 \longrightarrow \begin{cases} x^2 =0 \ \longrightarrow \ \bm{x=0} \\[2ex] x^2-12=0 \ \longrightarrow \ x=\sqrt{12} \ \longrightarrow \ \bm{x= \pm 3,46} \end{cases}$

现在，我们在线上表示所有找到的奇异点，即不属于定义域的点（x=-2 和 x=+2）以及取消导数的点（x=0，x=- 3.46 且 x= +3.46):

我们评估每个区间内导数的符号，以了解函数是增加还是减少。因此，我们在每个区间中取一个点（而不是奇点）并查看此时导数的符号：

$f'(-4)= \cfrac{(-4)^4-12(-4)^2}{\left((-4)^2-4\right)^2} = \cfrac{64}{144} = 0,44 \ \rightarrow \ \bm{+}$

$f'(-3)= \cfrac{(-3)^4-12(-3)^2}{\left((-3)^2-4\right)^2} = \cfrac{-27}{25} = -1,08 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f'(-1)= \cfrac{(-1)^4-12(-1)^2}{\left((-1)^2-4\right)^2} = \cfrac{-11}{9} = -1,22 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f'(1)= \cfrac{1^4-12\cdot1^2}{\left(1^2-4\right)^2} = \cfrac{-11}{9} = -1,22 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f'(3)= \cfrac{3^4-12\cdot 3^2}{\left(3^2-4\right)^2} = \cfrac{-27}{25} = -1,08 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f'(4)= \cfrac{4^4-12\cdot 4^2}{\left(4^2-4\right)^2} = \cfrac{64}{144} = 0,44 \ \rightarrow \ \bm{+}$

如果导数为正，则表示函数在增，如果导数为负，则表示函数在减。因此，增长区间和下降区间为：

生长：

$\bm{(-\infty,-3,46)\cup (3,46,+\infty)}$

减少：

$\bm{(-3,46,-2)\cup(-2,0)\cup (0,2) \cup (2,3,46)}$

该函数在 x=-3.46 处从增加变为减少，因此 x=-3.46 是该函数的最大值。当 x=3.46 时，函数从递减变为递增，因此 x=3.46 是函数的最小值。

我们确定相对端的 Y 坐标：

$f(-3,46)=\cfrac{(-3,46)^3}{(-3,46)^2-4} = \cfrac{-41,42}{7,97}=-5,20 \ \longrightarrow \ (-3,46,-5,20)$

$f(3,46)=\cfrac{3,46^3}{3,46^2-4} = \cfrac{41,42}{7,97}=5,20 \ \longrightarrow \ (3,46,5,20)$

因此，该函数的相对极值是：

最大接通点

$\bm{(-3,46,-5,20)}$

最小到点

$\bm{(3,46,5,20)}$

为了研究函数的曲率，我们计算函数的二阶导数：

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^2 - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 2\left(x^2-4\right)\cdot 2x }{ \left(\left(x^2-4\right)^2 \right)^2}$

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^2 - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x\left(x^2-4\right) }{\left(x^2-4\right)^4 }$

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^{\cancel{2}} - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x\cancel{\left(x^2-4\right)} }{\left(x^2-4\right)^{\cancelto{3}{4}} }$

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right) - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x}{\left(x^2-4\right)^3 }$

$f''(x)= \cfrac{4x^5-16x^3-24x^3+96x - \left(4x^5-48x^3\right) }{\left(x^2-4\right)^3 }$

$f''(x)= \cfrac{4x^5-16x^3-24x^3+96x - 4x^5+48x^3 }{\left(x^2-4\right)^3 }$

$f''(x)= \cfrac{8x^3+96x }{\left(x^2-4\right)^3 }$

现在我们将二阶导数设置为 0 并求解方程：

$f''(x)= 0$

$\cfrac{8x^3+96x }{\left(x^2-4\right)^3 }=0$

$8x^3+96x =0\cdot \left(x^2-4\right)^3$

$8x^3+96x =0$

$x(8x^2+96)=0$

$\displaystyle x\cdot(8x^2+96) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x =0} \\[2ex] 8x^2+96=0 \ \longrightarrow \ x^2=\cfrac{-96}{8}} = -12 \ \longrightarrow \ x= \sqrt{-12} \ \color{red}\bm{\times} \end{cases}$