减法的导数

17 9 月, 2023

在本文中，我们解释如何导出函数（公式）的减法。您还将找到减法导数的示例和已解决的分步练习来练习。

减法的导数公式

两个函数相减的导数等于分别减去每个函数的导数。

$z(x)=f(x)-g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)-g'(x)$

换句话说，对两个函数分别求导然后相减，相当于先将函数相减，然后求导。

减法的导数

同样，相同的微分规则适用于两个或多个函数的减法，因此如果我们有三个、四个、五个……函数的减法，我们需要分别对每个函数进行微分，然后将它们相减。

$\begin{array}{c}z(x)=f(x)- g(x)- h(x)- \dots\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex]z'(x)=f'(x)-g'(x)- h'(x)- \dots\end{array}$

正如您所看到的，函数差的导数公式与和的导数规则非常相似。

➤请参阅：函数和的导数

减法导数的例子

一旦我们了解了减法导数的公式是什么，我们现在就继续分析此类运算的导数的几个示例，以充分理解函数的减法是如何导出的。

示例 1：势函数减法的导数

$f(x)=x^3-4x$

两个函数相减的导数相当于每个函数各自的导数之差。因此，我们首先分别计算每个函数的导数：

$\cfrac{d}{dx} \ x^3=3x^2$

$\cfrac{d}{dx}\ 4x=4$

因此整个函数的导数如下：

$f'(x)=3x^2-4$

示例 2：不同函数减法的导数

$f(x)=\text{cos}(x)-\log_7(x^2)$

要对减法函数求导，必须首先对两个函数分别求导，然后再将它们相减。

$\cfrac{d}{dx} \ \text{cos}(x)=-\text{sen}(x)$

$\cfrac{d}{dx}\ \log_7 (x^2)=\cfrac{2x}{x^2\cdot \ln(7)}=\cfrac{2}{x\ln(7)}$

在求出两个导数后，我们以相同的初始顺序将它们相减：

$f'(x)=-\text{sen}(x)-\cfrac{2}{x\ln(7)}$

示例 3：平方减法的导数

$f(x)=\left(x^7-2x^3-9\right)^2$

在本例中，我们有一个复合函数，因为它是三个平方函数之间的减法。因此，我们必须使用势函数的导数公式和链式法则来计算整个函数的导数：

$f(x)=2\left(x^7-2x^3-9\right)\cdot \left(7x^6-6x^2\right)$

➤请参阅： 幂导数公式

已解决减法导数的练习

导出以下函数的减法：

$\text{A) } f(x)=9x^3-5x$

$\text{B) } f(x)=4x^5-6x^4-x^2-4$

$\text{C) } f(x)=\left(-3x^7-2x^5\right)^4$

$\text{D) } f(x)=\ln(5x^2+3x)-\text{cos}(x)$

$\text{E) } f(x)=8x^3-e^{5x}-\sqrt{8x+2}$

查看解决方案

$\text{A) } f'(x)=27x^2-5$

$\text{B) } f'(x)=20x^4-24x^3-2x$

$\text{C) } f'(x)=4\left(-3x^7-2x^5\right)^3\cdot (-21x^6-10x^4)$

$\text{D) } f'(x)=\cfrac{10x+3}{5x^2+3x}-\bilg(-\text{sen}(x)\bigr)=\cfrac{10x+3}{5x^2+3x}+\text{sen}(x)$

$\text{E) } f'(x)=24x^2-5e^{5x}-\cfrac{8}{2\sqrt{8x+2}}=24x^2-5e^{5x}-\cfrac{4}{\sqrt{8x+2}}$

减法导数的证明

接下来，我们从导数的定义来演示函数减法的导数公式，即：

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

因此，如果 z 是两个不同函数的差：

$z(x)=f(x)-g(x)$

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{z(x+h)-z(x)}{h}$

我们将 z 替换为极限表达式中函数的减法：

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\bigl[f(x+h)-g(x+h)\bigr]-\bigl[f(x)-g(x)\bigr]}{h}$

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-g(x+h)-f(x)+g(x)}{h}$

我们现在将进行转换以分离分数并获得两个分数的减法：

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{-g(x+h)+g(x)}{h}\right]$

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right]$

通过应用极限定律，我们可以将上述表达式分成两个不同的极限。因为减法的极限等于极限的减法：

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$

如果仔细观察，每个极限都对应于一个函数的导数，这意味着满足差值导数的公式：

$\displaystyle z'(x)=f'(x)-g'(x)$

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