什么是标准差？

标准或标准差是一种统计度量，指示各个数据点与数据集的均值或平均值的距离。它是一种离散度度量，用于了解数据与整体平均值的差异程度。

用更复杂的术语来说，标准或标准差是方差的平方根。方差计算为每个数据项与总体平均值之间的平方差的平均值。方差的平方根给出标准差，其单位与原始数据相同。

值得一提的是，这是统计中的一个重要指标。借助它，可以量化数据的分散性并了解其与平均值相比的分布情况。低标准差表明数据趋于接近平均值。另一方面，高标准差表明数据更加分散或远离平均值。

一般来说，标准差用于了解一组数据的变异性并进行比较。

标准差有什么用？

标准差是一种统计工具，在数据分析中有多种应用。一些最著名的实用程序是：

• 分散度测量：量化单个数据与平均值或整体平均值的距离。高标准差表示数据的离散度或变异性较大，而低标准差表示数据的离散度较小。
• 数据集比较– 可用于比较不同数据集之间的变异性。标准差较大的集合比标准差较小的集合具有更多的分散数据。
• 异常值识别– 这还可以帮助识别数据集中的异常值或极端值。如果数据点与平均值有几个标准差，则可能表明它是异常值或离群值。
• 评估模型的准确性——在某些情况下，标准差被用来衡量模型或估计的精度。例如，在推论统计中，标准差可用于计算置信区间或执行假设检验。

标准差的性质

标准差有几个值得一提的重要属性：

• 标准差是距离的度量，因此它始终是一个非负值。
• 如果集合中的所有数据具有相同的值，则标准差将为零。
• 它受到异常值的影响，并且可能在数据集中受到显着影响。
• 它对数据的规模很敏感。如果数据规模很大，标准差也会很大，反之亦然。
• 这是相对分散的度量，因为它以与原始数据相同的单位表示。

标准差的公式是什么？

标准差的数学公式为：

金子：

σ：表示标准差。

Σ：表示总和。

xi：这些是数据集的各个值。

平均值：这是数据集的平均值。

n 是集合中数据的总数。

标准差是分散度的衡量标准，它使我们能够了解一组数据与其均值或均值的差异程度。它是通过计算集合中每个值与集合平均值之差的平方和的平方根除以集合中的数据总数而获得的。

标准差是如何计算的？

标准差通过以下步骤计算：

1.计算数据集的均值或平均数

平均值是通过将数据集中的所有值相加并将结果除以总数据值得到的。在数学上，它可以表示为：

其中xi是数据集中的每个值，n是集合中数据项的数量，Σ表示总和。

2. 将数据集中的每个值减去均值

为了获得数据集中的每个值与平均值之间的差异，从数据集中的每个值减去平均值（在上一步中计算）。这使我们能够确定数据与平均值的差距。

3. 对上一步中获得的每个差值进行平方

将上一步中获得的差值平方。执行此步骤是为了防止正负差异相互抵消，并强调距平均值最远的值。

4.计算上一步得到的值的平均值

计算上一步获得的值的平均值。该平均值表示差值平方和除以数据总数。在数学上，它可以表示为：

均方差 = Σ((xi – 平均值)²) ÷ n

5. 获取上一步得到的值的平方根

最后一步是获取上一步获得的值的平方根。这提供了标准差，它是数据相对于平均值的离散程度的度量。

标准差如何解释？

值得注意的是，标准差的解释取决于所研究数据的背景和性质。

因此，有必要充分理解标准差的含义，并将其与其他统计指标结合使用，以全面、准确地理解数据变异性。让我们看下面的一些例子。

变异性分析

标准差用于评估一组数据的变异性或分散性。如果标准差较低，则表明数据接近平均值并且变异性很小。另一方面，如果标准差较高，则表明数据较为分散，变异性较大。

数据对比

它对于比较不同数据集之间的变异性非常有用。例如，如果比较两个国家的收入标准差，就可以推断出哪个国家的人口收入变异性更大。

识别异常值

帮助识别一组中的异常值或异常数据。与平均值相差超过 1 或 2 个标准差的数据可被视为异常值。

测量精度评估

它还用作测量或估计的精度或可靠性的衡量标准。例如，如果您正在进行研究并获得标准偏差较高的测量结果，这可能表明测量结果不太准确，并且在收集数据时需要更加小心。

数据正态性评估

标准差与其他度量结合使用来评估数据是否服从正态分布。如果数据与平均值的标准差较小，则可能表明数据近似服从正态分布。

标准差的数值示例

虽然一般来说它可能很复杂，但标准偏差可以用简单的方式来理解。为了澄清疑虑，我们使用两种不同的方法在下面分享一些示例。

方差的平方根

假设我们有以下数据：9、3、8、9 和 16。

步骤1：计算算术平均值：

算术平均值 = (9 + 3 + 8 + 9 + 16) ÷ 5 = 9。

步骤 2：应用方差公式：

偏差 = [(9 – 9) ² + (3 – 9) ² + (8 – 9) ² + (9 – 9) ² + (16 – 9) ² ] ÷ 5 = 86 ÷ 5 = 17.2。

步骤 3：求方差的平方根：

标准差 = √(17.2) ≈ 4.14。

偏差总和除以观测总数

假设我们有以下数据：2、4、2、4、2 和 4。

步骤1：计算算术平均值：

算术平均值 = (2 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4) ÷ 6 = 3。

步骤 2：通过添加偏差并除以观察总数来计算标准偏差：

标准差 = [(2 – 3) + (4 – 3) + (2 – 3) + (4 – 3) + (2 – 3) + (4 – 3)] ÷ 6 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) ÷ 6 = 1。

在这两种情况下，我们使用不同的计算方法分别获得大约 4.14 和 1 的标准差。这说明了如何通过使用方差的平方根或添加偏差并除以观测值总数来获得标准差。