共面（或共面）向量

在本页中，您将了解什么是共面向量以及如何判断 2、3、4 或更多向量是否共面。此外，您将能够看到逐步解决共面向量的示例和练习。

什么是共面向量？

在解析几何中，共面（或共面）向量的含义如下：

共面向量是属于同一平面的向量。

因此，两个向量总是共面的，因为一个平面只需 2 个向量即可形成。另一方面，当存在3个、4个或更多个矢量时，其中一个矢量可能不包含在同一平面中，因此它们不共面。

例如，在上图中您可以看到向量

$\vv{\text{u}}$

和

$\vv{\text{v}}$

它们彼此共面，因为它们包含在同一平面中。另一方面，这两个向量与向量不共面

$\vv{\text{w}}$

，因为在包含三个向量的空间中无法形成平面。

从这个属性我们可以推断，如果 3 个或更多向量共面，则定义所述向量的点（向量的起点和终点）也是共面点。

向量什么时候共面？

正如我们在共面（或共面）向量的定义中看到的，两个向量始终共面，但两个以上的向量不必遵守共面关系。

因此，有几种方法可以确定三个或更多向量是否共面：

如果三个向量的混合积（或三重点积）等于零，则表示三个向量共面。如果您不太清楚这个运算是如何计算的，我建议您看一下什么是三个向量的混合积，在这里您可以找到解释以及示例和已解决的练习。

$\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr] =0$

如果一组向量可以表示为两个向量的线性组合，则意味着它们是共面的，这意味着 3 个或更多向量当且仅当它们线性相关时才是共面的。为了表明三个或更多向量是两个向量的线性组合，所有向量形成的矩阵的秩等于2就足够了。

$rg(A) = 2$

重要的是，您必须充分理解线性相关性和独立性的概念，即两个向量何时线性相关或线性独立以及这意味着什么。如果您不完全清楚，在链接中您会找到非常详细的解释，此外，您还可以看到逐步解决的示例和练习。

如果所讨论的向量是平行向量，则意味着它们也是共面的，即所有平行向量都包含在同一平面中。

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{w}}$

解决了共面向量的问题

练习1

判断以下三个向量是否共面：

$\vv{\text{u}} = (3,1,2)$

$\vv{\text{v}} = (2,3,-1)$

$\vv{\text{w}} = (-1,-5,4)$

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要检查这是否是 3 个共面向量，我们必须计算这三个向量之间的混合积：

$\begin{aligned}\bigl[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{\text{w}}\bigr]& =\begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] -1 & -5 & 4 \end{vmatrix} \\[2ex] &= 36+1-20+6-15-8 \\[2ex] & = \bm{0} \end{aligned}$

三个向量的混合积为零，因此三个向量共面。

练习2

判断以下三个向量是否共面：

$\vv{\text{u}} = (4,-2,6)$

$\vv{\text{v}} = (-2,1,-3)$

$\vv{\text{w}} = (6,-3,9)$

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检查我们是否正在处理 3 个共面向量的一种方法是求解三个向量之间的混合积。然而，如果我们仔细观察向量的分量，我们可以看到它们是成比例的。因此，这三个向量彼此平行。

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{w}}$

由于所有向量都是平行的，因此它们实际上是 3 个共面向量。

练习3

判断下列四个向量是否共面：

$\vv{\text{a}} = (2,1,1)$

$\vv{\text{b}} = (1,-1,2)$

$\vv{\text{c}} = (-1,0,-1)$

$\vv{\text{d}} = (3,1,2)$

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要知道四个向量是否共面，我们必须计算所有向量组成的矩阵的秩：

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2&1&1 \\[1.1ex] 1&-1&2 \\[1.1ex] -1&0&-1 \\[1.1ex] 3&1&2\end{pmatrix}$

在这种情况下，我们通过行列式计算所述矩阵的范围：

$rg(A) = \ ?$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2&1&1 \\[1.1ex] 1&-1&2 \\[1.1ex] -1&0&-1 \end{vmatrix}=0 \quad \begin{vmatrix} 2&1&1 \\[1.1ex] 1&-1&2 \\[1.1ex]3&1&2\end{vmatrix} =0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2&1&1 \\[1.1ex] -1&0&-1 \\[1.1ex] 3&1&2\end{vmatrix}=0 \quad \begin{vmatrix} 1&-1&2 \\[1.1ex] -1&0&-1 \\[1.1ex] 3&1&2\end{vmatrix}=0$