集合论是数理逻辑四大要素之一。该理论通过研究元素的品质以及构成整体的对象之间的联系来分析元素的分组。
当我们谈论集合时，在这个理论中我们指的是具有相似特征的抽象结构组。在这个理论中，交集、补集、差集和并集等运算是对创建整体的对象执行的。
更简单地说，集合论是基于集合的数学分支。因此，它评估每个元素的所有属性以及它们之间发生的连接。
正如我们之前解释的那样，集合只不过是一组对象。也就是说，它们可以是符号、单词、数字、几何图形、字母等。
有哪些类型的套装？
根据集合中包含的对象数量，可以以不同的方式对它们进行分类。这些都是：
- 有限集：是所有具有相同数量元素的集合。例如，一周中的所有天、所有元音等等。
- 无限集——包含无限数量的对象。例如，实数。
- 通用集：将特定情况下考虑的所有对象聚集在一起。例如，如果要使用骰子的数字集，则通用集为 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}。
- 空集：是指没有元素的集合。例如，一年中有 27 天的所有月份。
定义集合的方法有哪些？
为了定义一个集合，我们首先建立该组元素的共同方面。例如，第一组包含正整数，甚至小于 20 的数字。它看起来像这样：
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}。
从这里开始，可以使用两种方法来定义集合。第一种方法称为编号或扩展方法。第二种称为描述方法。在第一个中，具体列出了集合的元素，而在第二个中，则基于元素必须满足的属性。
第一个系统对于描述包含很少元素的集合非常有用，以下是一些示例：
掷普通骰子 M= {1, 2, 3, 4, 5, 6}（有限）。
字母表中的元音 G= {a, e, i, o, u}（有限）。
而第二种方法对于定义具有大量元素的集合或无限集合更为实用。接下来，我们向您展示一些示例：
所有小于 32 的自然数 S = {x ∈ ℕ | x < 32}（完成）。
所有自然数 N = {x ∈ ℕ}（无穷大）。
什么是一组数字？
基本上，数字所属的分类称为数字集。这与每个人的特点有关。也就是说，例如一个数字是否有小数位或是否有负号。
数字集是我们执行不同数学运算所需的每个数字。这既适用于日常生活，也适用于科学或工程等更复杂的场景。
这些集合来自人类思维的创造。因此，它们是抽象地构成的。换句话说，数字设备实际上并不存在。然后数字集被分成几种类型的数字。
- 自然数：这些是我们用来计数的数字。它们延伸至无穷大并取单位的一小部分。形式上，自然数集合用字母 N 表示，如下所示： ℕ = {1, 2, 3 …} = ℕ \ {0}
- 整数：这些数字包含自然数。此外，所有占据谨慎分数但前面有负号的数字。同样，也添加零。它们可以表示如下： ℤ = {…, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}。在这个集合中，每个数字都有其等价符号相反的数字。换句话说，8的相反数是-8。
- 有理数：有理数涵盖以两个整数和所有整数的商表示的数字。这意味着他们可以毫无问题地使用十进制数。该集合可以表示为： ℚ = ℤ/ℤ。
- 无理数：这些数字不表示为两个整数的商。此外，即使它们延伸到无穷大，它们也没有在连续的周期部分中指定。有必要澄清无理数和有理数是不同集合的一部分。因此，它们没有共同特征。无理数的一个例子是：√123。 11.0905365064。
- 实数：这些数包括有理数和无理数。这意味着该组包括从负无穷大到无穷大的数字。
- 虚数：这些数字是由虚数单位乘以任何实数得到的。虚数单位转换为 – 1 的平方根。这些数字与实数无关。它们表达如下：p=r*s。在这种情况下：p是虚数，r是实数，s是虚数单位。
- 复数– 复数具有虚部和实部。其结构表示为：v+ri。在这种情况下：v是实数，r是虚部，i是虚数单位
什么是集合的并集？
我们可以认为集合的并集只不过是对 U 的所有内部集合的集合进行二元运算。通过二元运算来理解，它依赖于运算符和两个参数来存在一个特定的计算。
从这个意义上说，构成 U 一部分的每对集合 A 和 B 都与 U 的另一个集合(AUB)相关联。因此，如果 A 和 B 是两个不同的集合，则集合的并集表示如下： A={路易斯，卡洛斯}，B={卡拉，路易莎，保拉}； AUB={路易斯、卡洛斯、卡拉、路易莎、保拉}。
什么是集合的交集？
集合交集是一种将原始集合导出为具有重复或频繁对象的集合的操作。如果发生空集的交集，则将其定义为不相交。在这种情况下，可表示为：S ∩ D = Ø。
该运算中的符号∩对应于交集。为了更好地理解，让我们看下面的例子：
M= {绿、黑、白、紫}。
J = {黑色、绿色、粉色、蓝色}。
在这种情况下：M ∩ J = {绿色，黑色}，因为这些是在两个初始集合中重复的对象。
总体差异是多少？
集合差是集合论的第三个运算。它被定义为可以从 A 中不包含在 B 中的对象中获取新集合的操作。例如：
A = {4, 6, 8, 10, 12, 14}。
B = {2,4,6,8}。
因此，集合差值是从属于集合 A 而不是集合 B 的元素中获得的。结果是 {10, 12, 14}。
什么是集合的补集？
集合的补集定义为 U 中不属于该集合的所有对象。换句话说，它是一个包含不构成原始集合的元素的集合。为了更好地理解这个概念，有必要了解所使用的对象，或者相反，了解通用集的类型。
换句话说，如果我们谈论素数，则互补集就是非素数的互补集。同时，素数集合是非素数的补集。
各组之间的对称差是多少？
集合的对称差是一个集合，其对象是初始集合的一部分，同时与其他两个集合没有任何关系。如果我们从集合论中举例说明这个操作，我们有以下结果：
{1, 2, 3} 和 {2, 3, 4, 6, 9, 8} = 对称差为 {1, 4, 6, 9, 8}。
什么是维恩图？
维恩图的一部分的图形都是由连续的闭合线表示的图形。即椭圆形、三角形、圆形等。一般情况下，通用集合被表示为矩形。其余组用圆形或椭圆形进行几何表达。
重要的是要记住，该图不涉及任何数学证明。然而，对某个集合与另一个集合之间的联系有一个直觉是很有用的。
集合论适用于哪里？
集合论的应用领域很多。它主要用于几何逻辑基的制定。然而，它还有其他应用，例如拓扑。一般来说，这个理论与科学、数学、物理、生物、化学甚至工程学相关。
为了更好地理解数理逻辑，必须充分了解这个元素，集合论是最重要的元素之一。此外，正如我们之前已经解释过的，它不仅在数学中有应用。
我们如何用日常语言谈论集合论？
集合论是数学的基础部分。但这也涉及日常而非运营的领域。换句话说，它们并不总是数字集。在传统语言中，引用集合有点复杂。
原因是，例如，如果我们想组成一个最重要的画家群体，看法就会有所不同。因此，达成共识几乎是不可能的。总之，根据素质来判断谁在这个群体中，谁不在这个群体中，并不是那么容易的事情。
其中一些特定集合被定义为空集合或没有元素。此外，我们可以处理单个元素或单元的集合。
集合论的历史是什么？
集合论的产生源于德国人格奥尔格·康托尔的研究。这个人物是一位著名的数学家。事实上，直到今天他仍被称为该理论之父。研究人员最相关的研究是数值集和无限集。
康托尔 (Cantor) 的第一项与集合论相关的研究是在 1874 年。此外，值得一提的是，他的工作仍然与当时重要的数学家理查德·戴德金 ( Richard Dedekind)的研究相关。甚至后者在自然数的研究中也发挥了基础作用。
集合论有多重要？
该理论的研究对于概率分析、所有相关数学分析以及统计学至关重要。作为该理论一部分的每个操作都用于进行实验以获得特定结果。
答案总是与进行实验的环境有关。因此，集合在此类研究中发挥着基础作用。