两点之间的距离公式（几何）

10 7 月, 2023

在此页面上，您将了解如何计算几何中两点之间的距离（公式）。您还可以查看示例，此外还可以通过已解决的两点之间距离的练习进行练习。

两点之间的距离的公式是什么？

两点之间的距离等于连接它们的线段的长度。因此，在数学中，要确定两个不同点之间的距离，必须计算它们的坐标差的平方，然后求平方和的根。

换句话说，用于计算笛卡尔平面上两个不同点之间的距离的公式如下：

考虑两个不同点的坐标：

$A(x_1,y_1) \qquad \qquad B(x_2,y_2)$

两点之间的距离的公式为：

$d(A,B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 \vphantom{\frac{1}{2}}}$

这个公式来自于向量的大小。事实上，我们用这个公式所做的实际上是计算由所讨论的两个点确定的向量的大小。您可以在向量模数的解释中阅读更多相关内容。

另一方面，在解析几何中，两点之间的距离公式的演示也可以使用毕达哥拉斯定理来完成：

两点之间的距离公式

毕达哥拉斯定理指出，直角三角形斜边的平方等于其直角边的平方和，因此：

$\bigl(d(A,B)\bigr)^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$

要获得公式，您只需找到两点之间的距离：

$d(A,B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 \vphantom{\frac{1}{2}}}$

最后，值得注意的是，如果我们使用 3 坐标点，空间中两点之间的距离（在 R3 中）的公式将是相同的，但添加了 Z 坐标：

$d(A,B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2 \vphantom{\frac{1}{2}}}$

计算两点之间距离的示例

一旦我们了解了两点之间距离公式的定义，现在让我们看看如何使用示例来确定所述距离：

求以下两点之间的距离：

$A(-1,7) \qquad \qquad B(3,4)$

要以几何方式求出两点之间的距离，只需应用以下公式：

$d(A,B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 \vphantom{\frac{1}{2}}}$

现在我们将点的坐标代入公式：

$d(A,B) = \sqrt{(3-(-1))^2+(4-7)^2 \vphantom{\frac{1}{2}}}$

我们进行计算：

$\begin{aligned} d(A,B) &= \sqrt{(3+1)^2+(4-7)^2 \vphantom{\frac{1}{2}}} \\[2ex] &= \sqrt{4^2+(-3)^2 \vphantom{\frac{1}{2}}} \\[2ex] &= \sqrt{16+9}\\[2ex] &= \sqrt{25}\\[2ex] & = \bm{5}\end{aligned}$

因此，两点之间的距离等于 5 个单位。

显然，距离值必须始终为正号，因为距离始终为正。否则，就说明我们在某个步骤上犯了错误。

解决两点之间的距离问题

练习1

计算以下两点之间的距离：

$A(4,2) \qquad \qquad B(1,5)$

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要找到两点之间的几何距离，只需使用以下公式：

$d(A,B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 \vphantom{\frac{1}{2}}}$

现在我们将点的坐标代入公式：

$d(A,B) = \sqrt{(1-4)^2+(5-2)^2 \vphantom{\frac{1}{2}}}$

我们进行计算：

$\begin{aligned} d(A,B) & = \sqrt{(-3)^2+3^2 } \\[2ex] & = \sqrt{9+9 } \\[2ex] & = \bm{\sqrt{18}} \end{aligned}$

练习2

求以下两点之间的距离：

$A(8,6) \qquad \qquad B(-4,1)$

查看解决方案

要找到两点之间的数学距离，我们必须使用相应的公式：

$d(A,B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 \vphantom{\frac{1}{2}}}$

现在我们将点的坐标代入公式：

$d(A,B) = \sqrt{(-4-8)^2+(1-6)^2 \vphantom{\frac{1}{2}}}$

我们进行计算：

$\begin{aligned} d(A,B) &= \sqrt{(-12)^2+(-5)^2 } \\[2ex] &= \sqrt{144+25 }\\[2ex] &= \sqrt{169} \\[2ex] &= \bm{13}\end{aligned}$

练习3

计算由 A、B、C 点形成的三角形的周长，如下图所示：

解决了两点之间距离的练习

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首先，我们需要确定图表上每个点的 X 和 Y 坐标：

$A(2,1)$

$B(4,4)$

$C(6,2)$

现在我们需要用以下公式计算所有点之间的距离：

$d(A,B) = \sqrt{(4-2)^2+(4-1)^2 } = \sqrt{4+9} =\sqrt{13} = 3,61$

$d(A,C) = \sqrt{(6-2)^2+(2-1)^2 } = \sqrt{16+1} =\sqrt{17} = 4,12$

$d(B,C) = \sqrt{(6-4)^2+(2-4)^2 } = \sqrt{4+4} =\sqrt{8} = 2,83$

所以三角形的周长就是 3 条边的长度之和：

$P=3,61+4,12+2,83= \bm{10,56}$

练习4

检查以 A、B、C 点为顶点的三角形是否为等腰三角形。但三点：

$A(-4,5) \qquad B(7,-5) \qquad C(10,0)$

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要使三角形成为等腰三角形，它的两条边必须相等。因此，我们必须找到其每条边的长度，该长度对应于其顶点之间的距离。

因此，我们计算三角形顶点之间的距离：

$d(A,B) = \sqrt{(7-(-4))^2+(-5-5)^2 } = \sqrt{11^2+(-10)^2} = \sqrt{221}$

$d(A,C) = \sqrt{(10-(-4))^2+(0-5)^2 } = \sqrt{14^2+(-5)^2} = \sqrt{221}$

$d(B,C) = \sqrt{(10-7)^2+(0-(-5))^2} = \sqrt{3^2+5^2} = \sqrt{34}$

因此，三角形有两条相同的边，第三条边的尺寸与其他两条边不同，那么它实际上是一个等腰三角形。

练习5

在 Y 轴上找到与以下两点等距的点：

$A(5,-3) \qquad \qquad B(-2,4)$

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首先，如果该点位于计算机轴（OY 轴）上，则意味着该点的横坐标为零：

$P(0,y)$

其次，如果该点与点 A 和 B 等距，则意味着满足以下方程：

$d(P,A)= d(P,B)$

因此，使用两点之间的距离公式，我们可以从前面的方程中找到变量y的值：

$\sqrt{(5-0)^2+(-3-y)^2 \vphantom{\frac{1}{2}}}=\sqrt{(-2-0)^2+(4-y)^2 \vphantom{\frac{1}{2}}}$

由于方程两边都有根，我们可以化简：

$5^2+(-3-y)^2=(-2)^2+(4-y)^2$

我们解决显着的幂和等式（或显着的乘积）：

$25+9+y^2+6y=4+16+y^2-8y$

我们进行操作，直到找到未知y的值：

$y^2+6y-y^2+8y=4+16-25-9$

$14y=-14$

$y=\cfrac{-14}{14}$

$y=-1$

简而言之，问题陈述问我们的要点是：

$\bm{P(0,-1)}$

如果您发现本文有用，您可能还会对点和线之间的距离练习感兴趣。在链接页面上，您不仅可以找到逐步解决的练习，还可以找到计算点和线之间的距离的详细说明、示例以及点和线之间的距离公式的应用，以确定另一种类型的距离。

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