两条平行线之间的距离

10 7 月, 2023

在此页面上，您将了解如何确定两条平行线之间的距离。此外，您将能够看到示例并练习已解决的平行线之间距离的练习。

什么是两条平行线？

在了解如何计算两条平行线之间的距离之前，让我们简单回顾一下两条线之间平行度的概念：

平行线是那些永远不相交的线，也就是说，即使它们的轨迹延伸到无穷远，它们也永远不会互相接触。因此，两条平行线的点彼此之间的距离始终相同，而且两条平行线没有公共点。

例如，以下两条线是平行的：

什么是平行线

我们一般用2个竖条||来表示两条线平行字里行间

另一方面，尽管两条平行线永远不会相交，但在解析几何中我们说它们形成 0° 角，因为它们具有相同的方向。

如何计算平面内两条平行线之间的距离

要找到平面中两条平行线之间的距离（在 R2 中），只需在两条线上取一点并计算从该点到另一条线的距离即可。

我们可以这样做，因为两条平行线之间的距离始终相同。

两条平行线之间的距离

因此，要找到两条平行线之间的距离，您需要知道点和线之间的距离的公式。如果您不记得是怎么回事，在链接中您可以查看如何确定点和线之间的距离，此外您还可以看到逐步解决的示例和练习。

另一方面，如果使用公式时我们得到的距离为 0 个单位，则意味着这些线在某个点彼此接触，因此这些线不是平行的，而是相交、重合或垂直的。如果您愿意，您可以在我们的网站上查看此类线路之间的差异。

如何求两条平行线之间的距离的示例

现在让我们通过一个例子来看看如何解决两条平行线之间的距离问题：

求下列两条平行线之间的距离：

$r: \ 2x-4y-6=0 \qquad \qquad s: \ -x+2y+4=0$

我们需要做的第一件事是在一条线上（您想要的线）上得到一个点。在这种情况下，我们将计算线上的一个点

$s.$

为此，我们必须为其中一个变量赋予一个值，例如我们将这样做

$x=0:$

$-x+2y+4 =0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0+2y+4=0$

现在我们清除另一个变量（

$y$

）得出的方程可以知道此时它的价值：

$2y=-4$

$y= \cfrac{-4}{2}$

$y= -2$

因此，从直线得到的点

$s$

东方：

$P(0,-2)$

一旦我们在一条线上有了一个点，我们就可以使用点到线距离的公式来计算从该点到另一条线的距离：

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + (-4)\cdot (-2) +(-6)\rvert}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert 0+8-6\rvert}{\sqrt{4+16}}={\cfrac{2}{\sqrt{20}}=\bm{0,45}$

因此两条平行线之间的距离相当于 0.45 个单位。

解决两条平行线之间的距离问题

练习1

下面两条平行线之间的距离是多少？

$r: \ x+3y-4=0 \qquad \qquad s: \ 2x+6y+6=0$

查看解决方案

首先，我们将验证这是两条平行线。为此，变量的系数

$x$

和

$y$

必须彼此成比例，但不与独立项成比例：

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6}\neq \cfrac{-4}{6} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

事实上，这些线是平行的，因此我们可以应用该过程。

现在我们需要从其中一条线（您想要的线）中获取一个点。在这种情况下，我们将计算线上的一个点

$s.$

为此，您必须为其中一个变量赋值，例如我们将这样做

$x=0:$

$2x+6y+6=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 2\cdot 0+6y+6=0$

现在我们清除另一个变量（

$y$

) 得到的方程即可知道此时的值：

$6y=-6$

$y= \cfrac{-6}{6}$

$y= -1$

这样从直线上得到的点

$s$

东方：

$P(0,-1)$

一旦我们知道一条线上的点，我们就可以使用以下公式计算从该点到另一条线的距离：

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 1\cdot 0 + 3\cdot (-1) +(-4)\rvert}{\sqrt{1^2+3^2}}= \cfrac{7}{\sqrt{10}}=\bm{2,21}$

练习2

计算以下两条平行线之间的距离：

$r: \ 2x+y+5=0 \qquad \qquad s: \ 8x+4y-4=0$

查看解决方案

首先，我们将验证这是两条平行线。为此，变量的系数

$x$

和

$y$

必须彼此成比例，但不与独立项成比例：

$\cfrac{2}{8} = \cfrac{1}{4}\neq \cfrac{5}{-4} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

事实上，这些线是平行的，因此我们可以应用该过程。

现在我们需要从其中一条线（您想要的线）中获取一个点。在这种情况下，我们将计算线上的一个点

$s.$

为此，您必须为其中一个变量赋值，例如我们将这样做

$x=0:$

$8x+4y-4=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 8\cdot 0+4y-4=0$

现在我们清除另一个变量（

$y$

) 得出的方程求出此时的值：

$4y=4$

$y= \cfrac{4}{4}$

$y= 1$

这样从直线上得到的点

$s$

东方：

$P(0,1)$

一旦我们知道一条线上的点，我们就可以使用以下公式计算从该点到另一条线的距离：

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + 1\cdot 1 +5\rvert}{\sqrt{2^2+1^2}}= \cfrac{6}{\sqrt{5}}=\bm{2,68}$

练习3

计算未知数的值

$k$

所以接下来的两条线之间的距离是 5 个单位。

$r: \ 6x-8y+10=0 \qquad \qquad s: \ -3x+4y+k=0$

查看解决方案

由于我们在二维中工作，为了使两条线之间的距离不为零，它们必须平行。因此，我们将通过点与线之间的距离公式来计算两条线之间的距离，并从该方程中我们将得到

$k.$

为此，我们需要计算线上的一个点

$r:$

$6x-8y+10=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 1} \ 6\cdot 1 -8y+10=0$

$6-8y+10=0$

$-8y=-16$

$y=\cfrac{-16}{-8} = 2$

所以线上的一个点

$r$

东方：

$P(1,2)$

现在我们尝试计算属于该线的点之间的距离

$r$

（观点

$P$

）和线

$s$

用公式：

$d(P,s)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

我们用它的值替换每一项并简化表达式：

$d(P,s)= \cfrac{\lvert -3\cdot 1 + 4\cdot 2+k\rvert}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}= \cfrac{\lvert -3+8+k\rvert}{\sqrt{9+16}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{\sqrt{25}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{5}$

问题陈述告诉我们两条线之间的距离必须等于 5，因此我们将前面的表达式等于 5：

$\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{5}=5$

我们求解所得方程。分数的分子中存在绝对值，因此必须分别分析绝对值何时为正、何时为负：

$\cfrac{+(5+k)}{5}=5$

$5+k= 5 \cdot 5$

$5+k= 25$

$k= 25-5$

$\bm{k= 20}$

$\cfrac{-(5+k)}{5}=5$

$-5-k= 5 \cdot 5$

$-5-k= 25$

$-5-25=k$

$\bm{-30=k}$

因此有两个可能的值

$k$

正确的：

$k=20$

任何一个

$k=-30.$

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