在此页面上，您可以了解什么是 Hermitian 矩阵，也称为 Hermitian 矩阵。您将找到埃尔米特矩阵的示例、它们的所有属性以及这些类型的矩阵所具有的形式，以便完美地理解它们。最后，我们还解释了如何将任何复矩阵分解为埃尔米特矩阵与反埃尔米特矩阵的和。
什么是埃尔米特或埃尔米特矩阵？
出于好奇，这种类型的矩阵以查尔斯·埃尔米特 (Charles Hermite) 的名字命名，他是一位 19 世纪的法国数学家，在数学、特别是线性代数领域做出了重要研究。
以这种方式命名这个矩阵的原因是它表明这些特定矩阵的特征值（或特征值）始终是实数，但我们将在埃尔米特矩阵的属性中更详细地解释这一点。
最后，该矩阵有时也可以称为自伴矩阵，尽管这种情况非常罕见。
埃尔米特矩阵的示例
了解了 Hermitian 矩阵（或 Hermitian 矩阵）的定义后，让我们看一些不同维度 Hermitian 矩阵的示例：
2×2 阶 Hermitian 矩阵的示例
维度为 3 × 3 的 Hermitian 矩阵示例
尺寸为 4×4 的 Hermitian 矩阵示例
所有这些矩阵都是埃尔米特矩阵，因为每个矩阵的共轭转置矩阵等于矩阵本身。
埃尔米特矩阵的结构
埃尔米特矩阵有一个非常容易记住的结构：它们由主对角线上的实数组成，位于第 i 行和第 j 列的复数元素必须是在第 j 行和第 j 行中找到的元素的共轭第 i 列。
以下是埃尔米特矩阵结构的一些示例。
2×2 埃尔米特结构
![\displaystyle \begin{pmatrix}a& b\\[1.1ex] \overline{b} & c \end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a7c3eb7e683eabc86f70d307886a25f6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
3×3埃尔米特结构
![\displaystyle \begin{pmatrix}a& b & c \\[1.1ex] \overline{b} & d & e \\[1.1ex] \overline{c} & \overline{e} & f\end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6f7d10b69e2e0edf09a8dd5eca195c00_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
4×4埃尔米特结构
![\displaystyle \begin{pmatrix}a& b & c & d \\[1.1ex] \overline{b} & e & f & g \\[1.1ex] \overline{c} & \overline{f} & h & i \\[1.1ex] \overline{d} & \overline{g} & \overline{i} & j \end{pmatrix}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8d2a67c9e5748a431c83128df2b720df_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
埃尔米特矩阵的性质
现在我们来看看这种类型的复数方阵有什么性质：
- 任何埃尔米特矩阵都是正规矩阵。尽管并非所有正规矩阵都是埃尔米特矩阵。
- 任何埃尔米特矩阵都是可对角的。此外，生成的对角矩阵仅包含实数元素。
- 因此，埃尔米特矩阵的特征值（或特征值）始终是实数。这个性质是由 Charles Hermite 发现的，因此他很荣幸地称这个非常特殊的矩阵为 Hermitian。
- 同样，埃尔米特矩阵的特征空间是二乘二正交的：存在一个正交基
由矩阵的特征向量（eigenvectors）组成。
- 实数矩阵，即没有元素具有虚部，当且仅当它是对称矩阵时，才是埃尔米特矩阵。例如2×2 单位矩阵。
- 埃尔米特矩阵可以表示为实对称矩阵和虚反对称矩阵之和。
- 两个埃尔米特矩阵的和（或减法）等于另一个埃尔米特矩阵，因为：
- 如果标量是实数，则埃尔米特矩阵与标量的乘积的结果是另一个埃尔米特矩阵。
- 两个埃尔米特矩阵的乘积通常不再是埃尔米特矩阵。然而，当两个矩阵可交换时，即当两个矩阵相乘的结果无论相乘方向如何都相同时，乘积是 Hermitian 的，因为共轭转置运算的以下条件矩阵：
- 如果埃尔米特矩阵是可逆的，那么它的逆矩阵也是埃尔米特矩阵。
- 埃尔米特矩阵的行列式始终等于实数。这是该属性的证明：
渴
:
因此，为了满足这个条件，埃尔米特矩阵的行列式必须是实数。这样，结果的共轭就等于结果本身。
将复矩阵分解为埃尔米特矩阵和反埃尔米特矩阵
任何具有复数元素的矩阵都可以分解为一个埃尔米特矩阵与另一个反埃尔米特矩阵之和。但为此，您需要了解这些类型矩阵的以下特殊性：
- 复数方阵与其转置共轭之和给出了埃尔米特矩阵。
- 复方矩阵与其转置共轭之间的差给出了反埃尔米特（或反埃尔米特）矩阵。
- 因此，所有复矩阵都可以分解为埃尔米特矩阵和反埃尔米特矩阵之和。该定理称为Teoplitz 分解：
![\displaystyle \begin{array}{c} C = A + B \\[2ex] A = \cfrac{1}{2}\cdot (C+C^*) \qquad B = \cfrac{1}{2} \cdot (C-C^*)\end{array}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-74e1d9a0d55d77dd927109e42986c200_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
其中C是我们要分解的复矩阵，C*是它的转置共轭，最后A和B分别是矩阵C分解成的厄米矩阵和反厄米矩阵。