双曲正切函数

在此页面上，您将找到有关双曲正切的所有内容：它的公式是什么、它的图形表示、它的所有特征……

双曲正切公式

双曲正切函数是主要双曲函数之一，用符号tanh(x)表示。从数学上讲，双曲正切等于双曲正弦除以双曲余弦。

$\text{tanh}(x)=\cfrac{\text{senh}(x)}{\text{cosh}(x)}$

由双曲正弦公式和双曲余弦公式，我们可以得到以下表达式：

$\text{tanh}(x)=\cfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

因此，双曲正切函数与指数函数有关。在以下链接中，您可以看到这些类型的函数的所有特征：

➤参见：指数函数的特征

双曲正切的图形表示

从它的公式中，我们可以图形化地表示双曲正切函数：

从图中可以看出，双曲正切函数在 x=+1 和 x=-1 处有两个水平渐近线，因为当 x 接近正无穷大时，函数的极限给出 x=+1，而极限为负无穷大给出 x=-1。

另一方面，双曲正切的图形与正切（三角函数）的图形无关，后者是周期函数。您可以在以下链接中查看正切的图形表示以及它与双曲正切的区别：

➤请参阅：正切函数的图形表示

双曲正切的特征

双曲正切函数具有以下性质：

双曲正切函数的定义域都是实数。

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

相比之下，双曲正切函数的路径或范围仅限于-1和+1（不包括在内）之间的值。

$\text{Im } f= (-1,1)$

双曲正切是一个连续的双射奇函数（关于坐标原点对称）。

$\displaystyle \text{tanh}(-x) =- \text{tanh}(x)$

该函数在坐标原点处与 X 轴和 Y 轴相交。

$(0,0)$

双曲正切函数的正负无穷大的极限为+1/-1。因此，该函数在 x=+1 处有一个水平渐近线，在 x=-1 处有另一个水平渐近线。

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{tanh}(x)=+1$

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\text{tanh}(x)=-1$

双曲正切在其整个域上严格递增，因此它没有相对极值（既不是最大值也不是最小值）。

然而，函数在 x = 0 处由凸变为凹，因此 x = 0 是函数的拐点。

双曲正切函数的反函数称为双曲正切（或双曲反正切）参数，其公式如下：

$\displaystyle\text{tanh}^{-1}(x)=\text{arg tanh}(x)=\cfrac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$

双曲正切函数的导数是 1 除以双曲余弦的平方：

$f(x)=\text{tanh}(x) \ \longrightarrow \ f'(x)=\cfrac{1}{\text{cosh}^2(x)}=1-\text{tanh}^2(x)$

双曲正切函数的积分是双曲余弦的自然对数：

$\displaystyle\int\text{tanh}(x) \ dx= \ln\Bigl(\text{cosh}(x)\Bigr)+C$

两个不同数字之和的双曲正切可以通过应用以下等式计算：

$\text{tanh}(x+y)=\cfrac{\text{tanh}(x)+\text{tanh}(y)}{1+\text{tanh}(x)\cdot \text{tanh}(y)}$

泰勒多项式或双曲正切级数具有收敛半径
$\left|x\right|<\cfrac{\pi}{2}$

并对应于以下表达式：

$\displaystyle\text{tanh}(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots =\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}$

金子

$B_n$

是伯努利数。

双曲正切公式

双曲正切的图形表示

双曲正切的特征

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