差值的平方(或减法)

在这里,我们解释什么是差(或减)的平方的著名恒等公式是什么,也就是说,我们向您展示如何求解表达式 (ab) 2 。此外,您将能够看到示例并练习解决差值平方的练习。最后,我们展示了这一非凡产品类型的公式演示和几何解释。

差值(或减法)的平方是多少?

差的平方减法的平方值得注意的恒等式(或值得注意的乘积)之一,也就是说,它由一条数学规则组成,该规则有助于计算具有两项的二项式的求积:一项是正数,一项是另一个负面的。

因此,差的平方的代数表达式是(ab) 2

差值平方公式(或减法)

一旦我们了解了这种显着恒等式的定义,我们就会看到如何用它的公式来求解差的平方:

差值或减法的平方公式

因此,差值的平方等于第一项的平方,减去第一项与第二项乘积的两倍,再加上第二项的平方。

因此,要计算差值或平方减法,您不仅必须将每一项增加到 2,还必须将它们相乘并乘以 2。

记住这一点很重要,因为平方减法时一个非常常见的错误是不将乘积放在两项之间,而只求解减法的平方和减法的减法:

二项式减法的平方

不要忘记 a 和 b 之间的乘积!

差(或减)平方的示例

现在我们知道了差平方的公式,我们可以用它进行计算。因此,您可以看到这是如何完成的,我们准备了几个差值(或减法)平方的已解决示例。

实施例1

  • 求解以下差值平方:

(x-3)^2

这是一个平方减法,所以你必须应用它的公式:

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

所以,我们必须确定未知数的值是什么

a

b

的公式。在这种情况下,

a

是变量

x

b

对应数字3:

\left. \begin{array}{l} (a-b)^2\\[2ex] (x-3)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad  \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=3 \end{array}

请注意,负号不是

b,

但您必须始终采用不带符号的数字才能正确应用公式。

因此我们已经知道了

a

和的

b

因此,我们只需要将这些值代入公式即可:

二项式平方减法练习已解决

实施例2

  • 计算以下二项式的平方减法:

(5x-2)^2

平方差的公式为:

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

所以,我们首先需要确定的值

a

和的

b

的公式。在这个问题中,

a

代表单项式

5x

b

等价于二项式的独立项,即 2:

\left. \begin{array}{l} (a-b)^2\\[2ex] (5x-2)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad  \color{black} \begin{array}{c} a=5x \\[2ex] b=2 \end{array}

最后,一旦我们知道了参数的值

a

b

,我们简单地应用二项式公式进行平方减法:

\begin{aligned} (5x-2)^2 & = (5x)^2-2\cdot 5x \cdot 2 + 2^2 \\[2ex] & = 25x^2-20x+4 \end{aligned}

差平方公式的证明

然后我们将推导出减法平方公式的来源。尽管您不必记住证明,但理解其背后的数学仍然很好。

如果我们从所有减法的二项式的表达式开始:

(a-b)^2

显然,之前的幂等于因子的乘积

(a-b)

乘以自身:

(a-b)^2= (a-b)\cdot (a-b)

现在我们应用分配律将两个括号相乘:

\begin{aligned}(a-b)\cdot (a-b) & = a\cdot a +a\cdot (-b) - b\cdot a - b \cdot (-b) \\[2ex] & = a^2-ab-ba+b^2 \end{aligned}

我们只需将相似的项组合在一起即可完成公式的证明:

a^2-ab-ba+b^2 = a^2-2ab +b^2

为了从数学上证明减法平方的公式:

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

奇怪的是,平方减法的二项式表达式的展开也称为完全平方三项式。

差值平方的几何解释

为了彻底理解差的平方的概念,我们将了解如何从几何上解释这个显着的等式。

看下面的正方形,其边长是

a:

差值平方的几何解释

正方形或长方形的面积(或表面积)是通过将其两条相邻边相乘来计算的。因此,上面整个整数正方形的面积为

a\cdot a = a^2.

同样,每个黄色矩形的面积等于

a\cdot b = ab.

最后,右上角显示的小正方形的面积为

b\cdot b =b^2.

这意味着一个正方形的边

(a-b),

其表面是

(a-b)^2,

可以分解为一个维度的平方的面积

a,

负 2 倍尺寸的矩形面积

a

b

,加上一个边长正方形的面积

b.

简而言之,差的平方的公式也可以通过几何验证:

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

解决了差的平方(或减法)问题

为了方便您进行练习,我们为您提供了几个练习,逐步解决显着的差平方乘积。请记住,您可以在下面的评论中向我们写信您的任何问题。

练习1

解下列减法的平方:

\text{A)} \ (x-2)^2

\text{B)} \ (3-7x)^2

\text{C)} \ \left(x^2-6\right)^2

\text{D)} \ (-3x+y)^2

\text{E)} \ (4x-3y)^2

练习2

应用以下公式确定以下两个量之差的平方:

\text{A)} \ \left(6x^3-4y^4\right)^2

\text{B)} \ \displaystyle \left(\sqrt{2x}-\sqrt{8x}\right)^2

\text{C)} \ \displaystyle \left(\frac{5}{2}x^2-\frac{4}{5}x\right)^2

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