可切换矩阵 - Mathority

在此页面上，我们解释什么是可切换矩阵。此外，您将能够看到示例来很好地理解这个概念，最后，您将找到一个逐步解决的练习，在其中我们学习计算与任何矩阵可交换的所有矩阵。

什么是可切换矩阵？

如果两个矩阵的乘积结果不依赖于乘法顺序，则这两个矩阵是可交换的。换句话说，可切换矩阵满足以下条件：

$\displaystyle A\cdot B = B \cdot A$

这就是可交换矩阵的定义，现在让我们看一个例子：

可切换矩阵的示例

以下两个维度为 2×2 的矩阵可以在它们之间切换：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0\\[1.1ex] 1 & -1 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 3& 0\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}$

两个矩阵的可互换性可以通过计算两个方向的乘积来证明：

正如您所看到的，无论乘法的顺序如何，两个乘法的结果都是相同的。所以矩阵

$A$

和

$B$

它们是可切换的。

解决了矩阵切换练习

然后我们将逐步了解如何解决可交换矩阵练习：

确定与以下方阵可交换的所有矩阵：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

为了解决这个问题，我们将创建一个未知矩阵：

$\displaystyle B=\begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}$

因此我们必须找到这个未知矩阵。

为此，我们将利用所有交换矩阵都满足的属性：

$\displaystyle A\cdot B = B \cdot A$

$\displaystyle \begin{pmatrix}3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

现在我们将方程两边的矩阵相乘：

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3a+c &3b+d\\[1.1ex] a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3a+b & a\\[1.1ex] 3c+d & c \end{pmatrix}$

因此，为了使等式成立，必须满足以下等式：

$\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] a=3c+d\\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

所以我们所要做的就是求解方程组。从最后一个方程我们可以推断出

$b$

必须等于

$c$

$b=c$

如果这两个未知数相等，则第三个方程与第二个方程重复，因此我们可以消除它：

$\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] \cancel{a=3c+d}\\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

此外，从第一个方程我们不能得出任何结论，因为：

$3a+c=3a+b \ \xrightarrow{b \ = \ c} \ 3a+b=3a+b$

$3a=3a$

$a=a$

因此，我们只剩下第二个也是最后一个方程：

$\left.\begin{array}{l} 3b+d=a \\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

使得矩阵与矩阵交换

$A$

都是验证前面两个方程的那些。因此，通过将找到的表达式从头代入未知矩阵，我们可以找到与

$A:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ \begin{pmatrix} 3b+d & b \\[1.1ex] b & d \end{pmatrix}$

金子

$b$

和

$d$

是两个实数。

这是一个可以与矩阵交换的矩阵的例子

$A$

如下：

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{pmatrix}$

可切换矩阵的属性

可切换矩阵具有以下特点：

可切换数组不具有传递属性。换句话说，即使矩阵
$A$

与矩阵交换

$B$

和

$C$

，这并不意味着

$B$

和

$C$

它们之间可以切换。

对角矩阵相互交换，即对角矩阵与任何其他对角矩阵交换。

类似地，标量矩阵与所有矩阵等价交换。例如，单位矩阵或单位矩阵可与所有矩阵进行交换。

如果两个埃尔米特矩阵的特征向量（或多个特征向量）重合，则它们可交换。

显然，零矩阵也与所有矩阵可交换。

如果两个对称矩阵的乘积给出另一个对称矩阵，则这两个矩阵必须交换。

如果两个矩阵的对角化可以同时进行，那么它们一定是可交换的。因此，这两个矩阵也共享相同的特征向量或特征向量的正交基。

什么是可切换矩阵？

可切换矩阵的示例

解决了矩阵切换练习

可切换矩阵的属性

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