使用 Sarrus 规则计算 3x3 矩阵的行列式

在本页中，您将了解 3×3 方阵的行列式是什么。您将了解如何使用 Sarrus 规则求解 3 阶行列式。此外，您还有逐步解决的示例和练习，因此您可以练习并完美理解它。

3×3 矩阵的行列式是什么？

3阶行列式是维度为 3×3 的矩阵，由矩阵每一侧的竖线表示。例如，如果我们有以下矩阵：

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 5 \\[1.1ex] 1 & 6 & -2 \end{pmatrix}$

矩阵A的行列式表示如下：

$\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 5 \\[1.1ex] 1 & 6 & -2 \end{vmatrix}$

正如您所见，编写 3 阶方阵的行列式很容易。现在我们看看如何解决：

如何计算3阶行列式？

要生成 3×3 矩阵的行列式，您必须应用Sarrus 规则：

萨鲁斯规则

萨鲁斯规则规定，要计算 3 阶行列式，我们必须将主对角线元素的乘积与其平行对角线与其对应相反顶点的乘积相加，然后减去次对角线元素的乘积，它们的平行对角线与其对应的相对顶点的乘积。

这样写可能有点难以理解，但是通过下面的图表和示例来看看 3×3 行列式的计算是如何完成的：

3×3 行列式的示例：

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] -2 & 4 & 1 \end{vmatrix} & = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot (-2) + (-1) \cdot 4 \cdot 3 - (-2) \cdot 1 \cdot 3 - 4 \cdot 0 \cdot 2- (-1) \cdot 1 \cdot 1 \\ & = 2 + 0 -12 +6 - 0 +1 \\[2ex] & = \bm{-3} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 1 \\[1.1ex] 4 & -3 & -1 \end{vmatrix} & = 1\cdot 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 \cdot 4 +3 \cdot (-3) \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 - (-3) \cdot 1 \cdot 1- 3 \cdot 0 \cdot (-1) \\ & = -2 +0 -18 - 16 +3- 0 \\[2ex] & = \bm{-33} \end{aligned}$

解决了 3 × 3 矩阵的行列式问题

练习1

求解以下 3×3 行列式：

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为了求解 3×3 矩阵的行列式，我们必须应用 Sarrus 规则：

$\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\[1.1ex] 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 0 & 4 \end{vmatrix} & = 2 \cdot 1 \cdot 4 + 1 \cdot (-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \cdot 0 - 0 \cdot (-1) \cdot 2- 3 \cdot 1 \cdot 4 \\ & = 8 -2 +0 -0- 0-12 \\[2ex] & = \bm{-6} \end{aligned}$

练习2

计算以下 3 阶行列式：

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要计算三阶矩阵的行列式，我们必须使用 Sarrus 规则：

$\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\[1.1ex] 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} & = 1 \cdot 2 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 \cdot 3 + 4 \cdot (-1) \cdot 1 - 3 \cdot 2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1 \cdot 1 - 4 \cdot (-2) \cdot 2 \\ & = 4 -6 -4 -6+1+16 \\[2ex] & = \bm{5} \end{aligned}$

练习3

求以下 3×3 矩阵行列式的解：

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要确定 3×3 矩阵的行列式，我们必须使用 Sarrus 规则：

$\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix}1 & 3 & -2 \\[1.1ex] 2 & -3 & 4 \\[1.1ex] -1 & 2 & 5 \end{vmatrix} & = \\ & = 1 \cdot (-3) \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 \cdot (-2) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=} - (-1) \cdot (-3) \cdot (-2) - 2 \cdot 4 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \\[2.5ex] & = -15 -12 -8 +6-8-30 \\[2.5ex] & = \bm{-67} \end{aligned}$

练习4

求以下 3 阶矩阵行列式的解：

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为了找到 3×3 矩阵行列式的解，我们必须应用 Sarrus 公式：

$\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 6 & 1 & -2 \\[1.1ex] 4 & -3 & 2 \end{vmatrix} & = \\ & = 3 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) \cdot 4 + 6 \cdot (-3) \cdot (-1) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=} - 4 \cdot 1 \cdot (-1) - (-3) \cdot (-2) \cdot 3 - 6 \cdot 1 \cdot 2 \\[2.5ex] & =6 -8 +18 +4-18-12 \\[2.5ex] & = \bm{-10} \end{aligned}$

练习5

找到的值

$a$

它取消了以下三阶行列式：

查看解决方案

我们首先根据萨勒斯规则计算行列式的值，作为以下函数

$a :$

$\displaystyle\begin{aligned}\begin{vmatrix} 4 & 6 & -5 \\[1.1ex] -2 & 4 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & a \end{vmatrix} & = \\ & = 4 \cdot 4 \cdot a + 6 \cdot 2 \cdot (-1) + (-2) \cdot 2 \cdot (-5) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=}- (-1) \cdot 4 \cdot (-5) - 2 \cdot 2 \cdot 4 - (-2) \cdot 6 \cdot a \\[2.5ex] & = 16a -12 + 20 - 20 - 16 +12a \\[2.5ex] & = 28a -28 \end{aligned}$

为了使行列式消失，结果必须为0。因此，我们将结果设置为0并求解方程：

$28a-28=0$

$28a=28$

$a=\cfrac{28}{28} = \bm{1}$

使用 sarrus 规则计算 3×3 矩阵的行列式

3×3 矩阵的行列式是什么？

如何计算3阶行列式？

萨鲁斯规则

3×3 行列式的示例：

解决了 3 × 3 矩阵的行列式问题

练习1

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3×3 矩阵的行列式是什么？

如何计算3阶行列式？

萨鲁斯规则

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解决了 3 × 3 矩阵的行列式问题

练习1

练习2

练习3

练习4

练习5

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