空间平面方程

在此页面上，您将找到计划中所有方程的公式以及它们的计算方法。您还将了解如何找到任何平面及其法向量的方程。此外，您将能够看到示例并通过解决计划方程的练习进行练习。

平面方程是什么？

在解析几何中，平面方程是允许任何平面以数学方式表达的方程。因此，要找到平面的方程，您只需要一个点和属于该平面的两个线性无关向量。

在继续解释平面方程之前，您必须了解什么是平面（几何） ，否则会有一些您无法理解的东西。如果您不完全清楚，可以通过此链接查看，我们集中了您需要了解的有关该计划的所有信息。

该计划的方程式是什么？

正如我们在平面方程的定义中看到的，平面上的任何点都可以表示为 1 个点和 2 个向量的线性组合。

然而，方程对应于平面的必要条件是该平面的两个向量具有线性独立性，即两个向量不能相互平行。

因此，所有类型的平面方程为：矢量方程、参数方程、隐式（或一般）方程和平面的正则（或分段）方程。

然后我们将详细看到该计划所有方程的解释和公式。

平面的向量方程

考虑平面的一个点和两个方向向量：

平面矢量方程的公式为：

或同等学历：

金子

和

是两个标量，也就是说两个实数。

平面参数方程

平面的参数方程可以由其矢量方程确定。下面你可以看到演示。

设任意平面的矢量方程为：

我们首先进行向量与标量的乘积运算：

接下来，我们添加组件：

最后，我们通过分别同化每个变量对应的坐标，得到平面的参数方程：

金子：

• 

  和

  

  是两个标量，也就是说两个实数。

• 

  是计划的两个引导向量之一的分量

  

• 

  是计划的另一个定向向量的组成部分

  

平面的隐式或一般方程

考虑平面的一个点和两个方向向量：

平面的隐式、一般或笛卡尔方程通过求解以下行列式并将结果设置为 0 来获得：

因此，所得计划的隐式或一般方程如下：

此类平面方程也称为笛卡尔平面方程。

平面的正则方程或分段方程

平面的正则或分段方程的公式如下：

金子：

• 

  是平面与 X 轴的交点。

• 

  是平面与 Y 轴的交点。

• 

  这是平面与 Z 轴相交的位置。

平面的正则方程（或分段方程）也可以由其一般方程得到：

首先，我们从方程中求解系数 D：

然后我们将计划的整个方程除以参数 D 改变符号的值：

并且，利用分数的性质，我们得到以下表达式：

因此，我们从这个表达式推导出允许直接计算平面的正则或分段方程的项的公式：

因此，为了能够形成该计划方程的变体，系数 A、B 和 C 必须不为零，从而避免分数的不确定性。

如何从法向量计算平面方程

平面方程中一个非常典型的问题是在给定点及其法向（或垂直）向量的情况下找到给定平面的方程。那么，让我们看看它是如何工作的。

但您必须首先知道垂直于平面的向量的分量 X、Y、Z分别与该平面的隐式（或一般）方程的系数 A、B、C 一致。

金子

是与平面正交的向量

一旦我们知道了前面的关系，让我们看一个解决此类平面方程问题的例子：

• 确定通过该点的平面的隐式或一般方程

  

  它的法向量之一是

  

平面的隐式、一般或笛卡尔方程的公式为：

因此，从法向量中，我们可以找到系数 A、B 和 C，因为它们相当于法向量的分量：

而我们只需要找到参数D即可。为此，我们将属于平面的点的坐标代入方程：

因此该计划的隐式或一般方程为：

已解决的平面方程问题

练习1

确定包含向量的平面的向量方程

并经过以下两点：

和

要知道平面的方程，您需要一个点和两个向量，在这种情况下我们只有一个向量，因此我们必须找到该平面的另一个定向向量。为此，我们可以计算定义平面两点的向量：

现在我们已经知道了平面和点的两个方向向量，因此我们使用平面向量方程的公式：

我们将这两个向量和平面上的两点之一代入方程：

练习2

求包含以下三点的平面的参数方程：

为了找到平面的参数方程，我们需要找到在平面中链接的两个线性独立向量。为此，我们可以计算由 3 个点定义的两个向量：

找到的两个向量的坐标不成比例，因此它们彼此线性无关。

现在我们已经知道两个方向向量和平面上的一个点，我们应用平面参数方程的公式：

我们将这两个向量和平面上的三个点之一代入方程：

练习3

求通过该点的平面的隐式或一般方程

并包含向量

和

为了计算平面的一般或隐式方程，需要求解由两个向量、三个变量和点的坐标组成的以下行列式：

因此，我们将向量和点代入公式：

现在我们用您选择的方法求解 3×3 矩阵的行列式：

最后，我们执行操作并对相似项进行分组：

因此该计划的隐式或一般方程为：

练习4

判断点是否

属于以下计划：

对于位于平面上的点，必须验证其方程。因此，我们需要将点的笛卡尔坐标代入平面的方程中，并检查方程是否成立：

该点不遵守平面方程，因此它不是该平面的一部分。

练习5

求平面的分段方程，其一般（或隐式）方程为：

首先，我们从方程中删除独立项：

然后我们将计划的整个方程除以系数 D 改变符号的值：

并且，利用分数的性质，我们得到以下表达式：

所以平面的分段（或正则）方程是：

练习6

练习7

求包含直线的平面的参数方程

并且与右边平行

是行：

为了找到平面的参数方程，我们需要知道两个方向向量和平面上的一个点。该声明告诉我们它包含行

因此，我们可以用方向向量和这条线上的一点来定义平面。此外，该陈述告诉我们该平面平行于直线

所以我们也可以用这条线的方向向量来表示平面方程。

正确的

以参数方程的形式表示，因此其方向向量的分量就是参数项的系数

同一条线上的点的笛卡尔坐标是参数方程的独立项：

另一方面，直线

是连续方程的形式，其方向向量的分量是分数的分母：

因此，该规划的参数方程为：