平面的隐式、一般或笛卡尔方程

解释如何计算隐式平面方程（公式），也称为一般方程或笛卡尔方程。此外，您还将了解如何从平面的法向量找到平面的方程。而且，更重要的是，您将能够看到逐步解决的示例和练习。

该计划的隐式或一般方程是什么？

在解析几何中，平面的隐式方程，也称为平面的一般方程或笛卡尔方程，是允许任何平面以数学方式表达的方程。为了找到平面的隐式或一般方程，我们需要一个点和两个属于该平面的线性独立向量。

计划的隐式或一般方程的公式

考虑平面的一个点和两个方向向量：

$\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}$

平面的隐式、一般或笛卡尔方程通过求解以下行列式并将结果设置为 0 来获得：

$\displaystyle \begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} = 0$

因此，所得计划的隐式或一般方程如下：

$Ax+By+Cz+D=0$

重要的是，公式中的两个向量彼此线性无关，即它们必须具有不同的方向。为了满足这个条件，两个向量不平行就足够了。

虽然没有必要知道这个公式的原因，但您可以在下面看到它的演示。

从计划的参数方程开始，我们将继续讨论计划的隐式（或一般）方程：

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

首先，我们将每个参数方程的独立项传递到方程的另一边：

$\displaystyle \begin{cases}x-P_x= \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y-P_y = \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z-P_z = \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

或同等学历：

$\displaystyle \begin{cases} \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x =x-P_x\\[1.7ex] \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y=y-P_y \\[1.7ex] \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z =z-P_z\end{cases}$

为了使上述方程组有可行解，以下矩阵的秩必须等于 2（Rouche-Frobenius 定理）：

$\displaystyle\begin{pmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z\end{pmatrix}$

因此，如果前一个矩阵的范围必须为 2，则 3×3 行列式必须等于 0：

$\displaystyle\begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} =0$

通过求解这个行列式，我们得到平面的一般、隐式或笛卡尔方程：

$Ax+By+Cz+D=0$

所以，我们刚刚看到了平面的隐式（或一般）方程和参数方程，但是，还有更多的方法可以解析地表达平面，例如矢量方程和规范方程。您可以在此链接中查看计划中所有方程的公式和解释。

如何找到平面的隐式或一般方程的示例

我们通过一个例子来看看如何确定平面的隐式（或一般或笛卡尔）方程：

求通过该点的平面的隐式或一般方程
$P(3,1,-1)$

并包含向量

$\vv{\text{u}}=(2,0,3)$

和

$\vv{\text{v}}=(4,-1,2).$

为了计算平面的一般或隐式方程，需要求解由两个向量、变量和点的坐标形成的以下行列式：

$\displaystyle\begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} =0$

因此，我们将向量和点代入公式：

$\displaystyle\begin{vmatrix}2 & 4 & x-3 \\[1.1ex]0 & -1 & y-1 \\[1.1ex]3& 2 & z-(-1) \end{vmatrix} =0$

$\displaystyle\begin{vmatrix}2 & 4 & x-3 \\[1.1ex]0 & -1 & y-1 \\[1.1ex]3& 2 & z+1 \end{vmatrix} =0$

现在我们求解 3 阶行列式，例如使用 Sarrus 规则或通过辅因子（或副因子）：

$-2(z+1)+12(y-1)+3(x-3)-4(y-1) = 0$

现在我们对术语进行操作和分组：

$3(x-3)+8(y-1) -2(z+1) = 0$

$3x-9+8y-8 -2z-2 = 0$

$3x+8y-2z-19 = 0$

因此，该计划的隐式或一般方程为：

$\bm{3x+8y-2z-19 = 0}$

从平面的法向量计算平面的隐式或一般方程

平面方程中一个非常典型的问题是在给定点及其法向（或垂直）向量的情况下找到给定平面的方程。那么，让我们看看它是如何工作的。

但您必须首先知道垂直于平面的向量的分量 X、Y、Z分别与该平面的隐式（或一般）方程的系数 A、B、C 一致。

$\displaystyle \color{orange} \boxed{ \color{black} \quad \pi : \ Ax+By+C+D = 0 \quad \iff \quad \vv{n} = (A,B,C) \quad \vphantom{\Bigl(}}$

金子

$\vv{n}$

是与平面正交的向量

$\pi.$

一旦我们知道了前面的关系，让我们看一个解决此类平面方程问题的例子：

确定通过该点的平面的隐式或一般方程
$P(1,0,-2)$

它的法向量之一是

$\vv{n}=(3,-1,2) .$

平面的隐式、一般或笛卡尔方程的公式为：

$Ax+By+Cz+D=0$

因此，从法向量中，我们可以找到系数 A、B 和 C，因为它们相当于法向量的分量：

$\vv{n}=(3,-1,2) \ \longrightarrow \ 3x-1y+2z+D=0$

而我们只需要找到参数D即可。为此，我们将属于平面的点的坐标代入方程：

$P(1,0,-2)$

$3\cdot 1-0+2\cdot (-2)+D=0$

$3-4+D=0$

$-1+D=0$

$D=1$

因此该计划的隐式或一般方程为：

$\bm{3x-y+2z+1 = 0}$

解决了平面隐式或一般方程的问题

练习1

求通过该点的平面的隐式或一般方程

$P(-2,1,3)$

并包含向量

$\vv{\text{u}}=(4,1,3)$

和

$\vv{\text{v}}=(5,3,-1).$

查看解决方案

为了计算平面的一般或隐式方程，需要求解由两个向量、三个变量和点的坐标组成的以下行列式：

$\displaystyle\begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} =0$

因此，我们将向量和点代入公式：

$\displaystyle\begin{vmatrix}4 & 5 & x+2 \\[1.1ex]1 & 3 & y-1 \\[1.1ex]3& 1 & z+1 \end{vmatrix} =0$

现在我们用您选择的方法求解 3×3 矩阵的行列式：

$12(z+1)+15(y-1)+1(x+2)-9(x+2)-4(y-1)-5(z+1) = 0$

最后，我们执行操作并对相似项进行分组：

$-8(x+2)+11(y-1)+7(z+1) = 0$

$-8x-16+11y-11+7z+7=0$

$-8x+11y+7z-20= 0$

因此该计划的隐式或一般方程为：

$\bm{-8x+11y+7z-20 = 0}$

练习2

判断点是否

$P(-1,5,-3)$

属于以下计划：

$\pi : \ 2x+y+6z-5=0$

查看解决方案

对于位于平面上的点，必须验证其方程。因此，我们需要将点的笛卡尔坐标代入平面的方程中，并检查方程是否成立：

$2x+y+6z-5=0$

$P(-1,5,-3)$

$2\cdot (-1)+5+6\cdot (-3)-5=0$

$-2+5-18-5=0$

$-20\neq 0$

该点不遵守平面方程，因此它不是该平面的一部分。

练习3

找到包含以下三点的计划的隐式（或一般）方程：

$A(5,-1,-2) \qquad B(2,1,3) \qquad C(4,1,-2)$

查看解决方案

为了找到平面的隐式方程，我们需要找到两个绑定在平面上的线性无关向量。为此，我们可以计算由 3 个点定义的两个向量：

$\vv{AB} = B - A = (2,1,3) - (5,-1,-2) = (-3,2,5)$

$\vv{AC} = C - A = (4,1,-2) - (5,-1,-2) = (-1,2,0)$

找到的两个向量的坐标不成比例，因此它们实际上是彼此线性独立的。

现在我们已经知道了平面上的两个方向向量和一个点，因此我们已经可以应用平面一般方程的公式：

$\displaystyle\begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} =0$

我们将向量和三个点之一代入公式：

$\displaystyle\begin{vmatrix}-3 & -1 & x-5 \\[1.1ex]2 & 2 & y+1 \\[1.1ex]5& 0 & z+2 \end{vmatrix} =0$