矩阵幂 -

在本页中，我们将了解如何计算矩阵的幂。您还将找到矩阵幂的示例和逐步解决的练习，这将帮助您完全理解它。您还将了解什么是矩阵的 n 次方以及如何求它。

矩阵的幂是如何计算的？

要计算矩阵的幂，您必须将矩阵与其自身相乘，次数与指数所示的次数相同。例如：

$A^4 = A \cdot A \cdot A \cdot A$

因此，要获得矩阵的幂，您需要知道如何解决矩阵乘法。否则你无法计算功率矩阵。

计算矩阵幂的示例：

因此，方阵的幂是通过矩阵乘以自身来计算的。类似地，立方矩阵等于矩阵本身的平方矩阵。类似地，要求矩阵四次方的幂，必须将矩阵三次方乘以矩阵本身。等等。

您应该知道矩阵幂的一个重要属性：只有当矩阵为方阵时（即行数与列数相同时）才能计算矩阵的幂。

矩阵的n次方是多少？

矩阵的n次方是一个表达式，可以让我们轻松计算矩阵的任意次方。

矩阵的幂通常遵循某种模式。因此，如果我们能够破译它们遵循的序列，我们将能够计算任何幂，而不必进行所有乘法。

这意味着我们可以找到一个公式来计算矩阵的 n 次方，而无需计算所有次方。

发现权力所遵循的模式的提示：

指数的奇偶性。偶次幂可能是一种方式，奇次幂是另一种方式。
标志的变化。例如，偶数次方的元素可能为正，而奇数次方的元素可能为负，或者反之亦然。
重复：同一矩阵是否每隔一定次数的幂重复一次。
我们还必须看看指数和矩阵元素之间是否存在关系。

计算矩阵 n 次方的示例：

是
$A$

下面的矩阵，计算

$A^n$

和

$A^{100}$

。

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{pmatrix}$

我们首先计算矩阵的几次幂

$A$

，尝试猜测幂所遵循的模式。所以我们计算

$A^2$

$A^3$

$A^4$

和

$A^5:$

当计算至

$A^5$

，我们看到矩阵的幂

$A$

它们遵循一个模式：每次幂增加，结果都会乘以 2。因此，所有矩阵都是 2 的幂：

$\displaystyle A^2= \begin{pmatrix} 2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2^1 & 2^1 \\[1.1ex] 2^1 & 2^1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^3= \begin{pmatrix} 4 & 4 \\[1.1ex] 4 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2^2 & 2^2 \\[1.1ex] 2^2 & 2^2 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^4= \begin{pmatrix} 8 & 8 \\[1.1ex] 8 & 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2^3 & 2^3 \\[1.1ex] 2^3 & 2^3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^5= \begin{pmatrix} 16 & 16 \\[1.1ex] 16 & 16 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2^4 & 2^4 \\[1.1ex] 2^4 & 2^4 \end{pmatrix}$

因此我们可以推导出矩阵n次方的公式

$A:$

从这个公式我们可以计算出

$A^{100}:$

解决了矩阵功率问题

练习1

考虑以下维度为 2×2 的矩阵：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{pmatrix}$

计算：

$\displaystyle A^4$

查看解决方案

要计算矩阵的幂，必须将矩阵一乘一。因此，我们首先计算

$\displaystyle A^2 :$

$\displaystyle A^2= A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\[1.1ex] -2 & -1\end{pmatrix}$

现在我们计算

$\displaystyle A^3 :$

$\displaystyle A^3= A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\[1.1ex] -2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -5 & 2 \\[1.1ex] -1 & -5 \end{pmatrix}$

最后我们计算

$\displaystyle A^4 :$

$\displaystyle A^4= A^3 \cdot A = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\[1.1ex] -1 & -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{-7} & \bm{-8} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{-7} \end{pmatrix}$

练习2

考虑以下 2 阶矩阵：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix}$

计算：

$\displaystyle A^{35}$

查看解决方案

$\displaystyle A^{35}$

的幂太大而无法手动计算，因此矩阵幂必须遵循某种模式。那么我们来计算一下

$\displaystyle A^5$

尝试理解它们遵循的顺序：

$\displaystyle A^2= A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 9 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^3= A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 27 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^4= A^3 \cdot A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 27 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 81 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^5= A^4 \cdot A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 81 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 243 \end{pmatrix}$

这样我们就可以看到幂遵循的模式：在每个幂上，除了第二行第二列中的元素乘以 3 之外，所有数字都保持相同。因此，所有数字始终保持相同。最后一个元素是 3 的幂：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^2 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^3=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 27 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^4=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 81 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^4 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^5=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 243 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^5 \end{pmatrix}$

所以矩阵的n次方公式

$\displaystyle A$

东方：

$\displaystyle A^n=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3^n\end{pmatrix}$

从这个公式我们可以计算出

$\displaystyle A^{35}:$

$\displaystyle\bm{A^{35}=}\begin{pmatrix} \bm{1} & \bm{0} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{3^{35}}\end{pmatrix}$

练习3

考虑以下 3×3 矩阵：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

计算：

$\displaystyle A^{100}$

查看解决方案

$\displaystyle A^{100}$

的幂太大而无法手动计算，因此矩阵幂必须遵循某种模式。那么我们来计算一下

$\displaystyle A^5$

尝试理解它们遵循的顺序：

$\displaystyle A^2= A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^3= A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^4= A^3 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^5= A^4 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{5} & \frac{5}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

这样我们就可以看到幂遵循的模式：在每个幂上，所有数字都保持不变，除了分数，分子中的分数增加一：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^2= \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^3= \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^4= \begin{pmatrix} 1 & \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^5= \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{5} & \frac{5}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

所以第n个矩阵的幂公式

$\displaystyle A$

东方：

$\displaystyle A^n= \begin{pmatrix} 1 & \frac{n}{5} & \frac{n}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

从这个公式我们可以计算出

$\displaystyle A^{100}:$

$\displaystyle A^{100}= \begin{pmatrix} 1 & \frac{100}{5} & \frac{100}{5} \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \bm{1} & \bm{20} & \bm{20} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{1} & \bm{0} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{0} & \bm{1} \end{pmatrix}$

练习4

考虑以下大小为 2×2 的矩阵：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

计算：

$\displaystyle A^{201}$

查看解决方案

$\displaystyle A^{201}$

的幂太大而无法手动计算，因此矩阵幂必须遵循某种模式。在这种情况下，需要计算

$\displaystyle A^{8}$

为了知道它们遵循的顺序：

$\displaystyle A^2= A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^3= A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^4= A^3 \cdot A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix} = \bm{I}$

$\displaystyle A^5= A^4 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^6= A^5 \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^7= A^6 \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^8= A^7 \cdot A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix} = \bm{I}$

通过这些计算，我们可以看到每 4 次方我们就得到单位矩阵。也就是说，它会给我们结果的幂单位矩阵

$\displaystyle A^4$

$\displaystyle A^8$

$\displaystyle A^{12}$

$\displaystyle A^{16}$

,…所以要计算

$\displaystyle A^{201}$

我们必须将 201 分解为 4 的倍数：

$\displaystyle 201= 4 \cdot 50 +1$

，然而，

$A^{201}$

将会是50次

$\displaystyle A^{4}$

还有一次

$\displaystyle A^{1}:$

$\displaystyle A^{201}=\left(A^4 \right)^{50} \cdot A^1$

我们怎么知道

$\displaystyle A^4$

是单位矩阵

$\displaystyle I :$

$\displaystyle A^4 =I$

$\displaystyle A^{201}=\left(A^4 \right)^{50} \cdot A^1 = I^{50}\cdot A$

此外，将单位矩阵提升到任意数即可得到单位矩阵。然而：

$\displaystyle A^{201}= I^{50}\cdot A = I \cdot A$

最后，任何矩阵乘以单位矩阵都会得到相同的矩阵。所以：

$\displaystyle A^{201}= I \cdot A = A$

为了什么

$A^{201}$

等于

$A:$

$\displaystyle A^{201}= A =\begin{pmatrix} \bm{0} & \bm{-1} \\[1.1ex] \bm{1} & \bm{0} \end{pmatrix}$

练习5

考虑以下 3 阶矩阵：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}$

计算：

$\displaystyle A^{62}$

查看解决方案

显然，计算矩阵的幂

$\displaystyle A^{62}$

这是一个太大的计算，无法手动完成，因此矩阵幂必须遵循某种模式。在这种情况下，需要计算

$\displaystyle A^{6}$

为了知道它们遵循的顺序：

$\displaystyle A^2= A \cdot A = \begin{pmatrix}3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^3= A^2 \cdot A = \begin{pmatrix}3 & 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^4= A^3 \cdot A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^5= A^4 \cdot A = \begin{pmatrix}3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^6= A^5 \cdot A = \begin{pmatrix}3 & 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

通过这些计算我们可以看到每 3 次方我们就得到了单位矩阵。也就是说，它会给我们结果的幂单位矩阵

$\displaystyle A^3$

$\displaystyle A^6$

$\displaystyle A^{9}$

$\displaystyle A^{12}$

,…以便计算

$\displaystyle A^{62}$

我们必须将 62 分解为 3 的倍数：

$\displaystyle 62= 3 \cdot 20 +2$

，然而，

$\displaystyle A^{62}$

将会是20次

$\displaystyle A^{3}$

还有一次

$\displaystyle A^{2}:$

$\displaystyle A^{62}=\left(A^3 \right)^{20} \cdot A^2$

我们怎么知道

$\displaystyle A^3$

是单位矩阵

$\displaystyle I :$

$\displaystyle A^3 =I$

$\displaystyle A^{62}=\left(A^3 \right)^{20} \cdot A^2 = I^{20}\cdot A^2$

此外，将单位矩阵提升到任意数即可得到单位矩阵。然而：

$\displaystyle A^{62}= I^{20}\cdot A^2 = I \cdot A^2$

最后，任何矩阵乘以单位矩阵都会得到相同的矩阵。然而：

$\displaystyle A^{62}= I \cdot A^2 = A^2$

为了什么

$A^{62}$

将等于

$A^{2}$

，我们之前计算过的结果：

$\displaystyle A^{62}= A^2=\begin{pmatrix} \bm{3} & \bm{3} & \bm{1} \\[1.1ex] \bm{-2} & \bm{-2} & \bm{-1} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{1} & \bm{-1} \end{pmatrix}$

如果这些关于方阵幂的练习对您有用，您还可以找到关于矩阵加法和减法（最常用的矩阵运算之一）的已解决分步练习。

矩阵的幂是如何计算的？

计算矩阵幂的示例：

矩阵的n次方是多少？

计算矩阵 n 次方的示例：

解决了矩阵功率问题

练习1

练习2

练习3

练习4

练习5

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