计算两个向量的点积 -

在此页面上，您将了解它是什么以及如何计算两个向量的点积。您还将学习如何使用点积求两个向量之间的角度，此外还学习点积的所有属性。最后，您将能够通过逐步解决的示例和练习进行练习。

如何计算两个向量之间的点积

在数学中，点积是一种向量运算，它将两个向量相乘并将它们转换为实数。因此，有两种方法可以计算两个向量的点积：

如果我们知道两个向量的坐标，我们可以通过将 X 和 Y 分量相乘然后将结果相加来找到它们的点积。换句话说，如果我们有两个向量：

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y) \qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

它们之间的标量积为：

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \text{u}_x\cdot \text{v}_x + \text{u}_y\cdot \text{v}_y$

例如，以下两个向量之间的点积为：

$\vv{\text{u}} = (1,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,3)$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}&=(1,2)\cdot (-1,3) \\[1.5ex]&=1\cdot (-1) + 2 \cdot 3 \\[1.5ex] & = -1+6 \\[1.5ex] & =\bm{5} \end{aligned}$

这是一种求两个向量之间点积的方法。不过，还有另一种方法：

另一方面，如果我们知道两个向量之间的模和角度，则两个向量之间的标量积可以通过计算它们的模与它们形成的角度的余弦的乘积来确定：

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )$

金子

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

和

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

是向量的模

$\vv{\text{u}}$

和

$\vv{\text{v}}$

分别和

$\alpha$

他们形成的角度。

回想一下，向量的大小是其分量的平方根：

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ \text{u}_x^2+\text{u}_y^2}$

例如，我们将求解两个向量的标量积，其模数和它们之间的角度为：

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert =3 \qquad \lvert \vv{\text{v}} \rvert = 4 \qquad \alpha=60º$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha ) \\[1.5ex] &= 3 \cdot 4 \cdot \cos(60º)\\[1.5ex] & = 3 \cdot 4 \cdot 0,5 \\[1.5ex] &= \bm{6} \end{aligned}$

另一方面，点积也称为点积、标量积或点积。

注意：不要混淆点积和叉积，因为虽然它们的名称相似，但它们是完全不同的概念。

使用点积求两个向量之间的角度

一旦我们看到点积的定义，您可能想知道两个向量相乘的目的是什么？那么，点积的应用之一就是计算两个向量形成的角度。

通过求解点积公式的余弦，我们得到：

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}\newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}\end{empheq}$

让我们通过一个例子看看这是如何完成的：

求以下两个向量之间的角度：

$\vv{\text{u}} = (4,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,5)$

首先我们需要找到两个向量的大小：

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ 4^2+2^2}= \sqrt{20}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}$

现在我们使用公式来计算两个向量之间的角度的余弦：

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot (-1) + 2\cdot 5}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{6}{\sqrt{520}} = 0,26$

最后，我们用计算器求余弦的倒数，求出相应的角度：

$\displaystyle \cos^{-1}(0,26) = \bm{74,93º}$

因此，矢量形成的角度为 74.93°。

两个向量点积的性质

点积具有以下特点：

交换律：向量相乘的顺序并不重要。

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} =\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}$

分配性：点积对于向量的加法和减法具有分配性：

$\displaystyle \vv{\text{u}}( \vv{\text{v}}+ \vv{\text{w}} )=\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}+ \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{w}}$

$\displaystyle \vv{\text{u}}( \vv{\text{v}}- \vv{\text{w}} )=\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}- \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{w}}$

关联性：我们可以在执行运算之前或之后将点积乘以一个常数，因为结果是等效的：

$\displaystyle k\cdot (\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}) = (k\cdot\vv{\text{u}}) \cdot \vv{\text{v}} =\vv{\text{u}} \cdot (k\cdot\vv{\text{v}})$

如果两个向量正交（或垂直），则它们的点积为零。这个属性可以很容易地证明，因为两个垂直向量形成 90° 的角度，并且 90° 的余弦等于 0：

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(90º ) \\[1.5ex] &=\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot 0 \\[1.5ex] &= 0 \end{aligned}$

相反，如果两个向量平行，则它们的标量积与它们的模的乘积相同。这个属性也可以很容易地验证，因为两个相同方向的向量形成 0° 的角度，其余弦等于 1：

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(0º) \\[1.5ex] &=\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot 1 \\[1.5ex] &= \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \end{aligned}$

最后，向量本身的点积等于其大小的平方：

$\displaystyle\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{u}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert ^2$

解决了两个向量之间的标量积问题

练习1

计算以下两个向量在平面上的点积：

$\vv{\text{u}} = (4,-3) \qquad \vv{\text{v}} = (5,2)$

查看解决方案

要计算两个向量的点积，我们需要将它们的 X 坐标和 Y 坐标相乘，然后将结果相加：

$\displaystyle \begin{aligned}\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = (4,-3)\cdot (5,2) \\[1.5ex] & = 4\cdot 5 + (-3) \cdot 2 \\[1.5ex] & = 20-6\\[1.5ex] & =\bm{14} \end{aligned}$

练习2

确定两个向量的标量积，其模数和它们形成的角度为：

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert =6 \qquad \lvert \vv{\text{v}} \rvert = 3 \qquad \alpha=45º$

查看解决方案

由于我们知道它们的模块以及它们之间的角度，因此我们可以直接应用点积公式：

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha ) \\[1.5ex] &= 6 \cdot 3 \cdot \cos(45º)\\[1.5ex] & = 6 \cdot 3 \cdot 0,71 \\[1.5ex] &= \bm{12,73} \end{aligned}$

练习3

下面两个向量之间的角度是多少？

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(3,8) \qquad \vv{\text{v}} =(-4,1)$

查看解决方案

首先，我们需要计算两个向量的大小：

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ 3^2+8^2}= \sqrt{73}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-4)^2+1^2}= \sqrt{17}$

我们使用以下公式计算向量形成的角度的余弦：

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 3\cdot (-4) + 8\cdot 1}{\sqrt{73}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{-4}{\sqrt{1241}} = -0,11$

最后，我们通过计算器求余弦的倒数来找到相应的角度：

$\displaystyle \cos^{-1}(-0,11) = \bm{96,52º}$

练习4

考虑以下两个向量：

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,2) \qquad \vv{\text{v}} =(-1,6)$

计算如下运算：

$4 \bigl(\vv{\text{u}} \cdot\vv{\text{v}}\bigr)$

查看解决方案

我们首先需要求解括号内的点积，然后与括号外的点积相乘：

$4 \bigl(\vv{\text{u}} \cdot\vv{\text{v}}\bigr)$

$4 \bigl((5,2) \cdot (-1,6) \bigr)$

$4 \bigl(5 \cdot (-1) + 2 \cdot 6 \bigr)$

$4 \bigl(-5 + 12 \bigr)$

$4 \cdot 7$

$\bm{28}$

练习5

给定以下三个二维向量：

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,6) \qquad \vv{\text{v}} =(4,-3)\qquad \vv{\text{w}} =(-1,2)$

计算如下运算：

$\vv{\text{w}} \cdot \bigl( 5 \vv{\text{u}}- 2 \vv{\text{v}}\bigr)$

查看解决方案

首先，我们将向量乘以括号中的标量：

$\vv{\text{w}} \cdot \bigl( 5 \vv{\text{u}}- 2 \vv{\text{v}}\bigr)$

$(-1,2) \cdot \bigl( 5 (-2,6)- 2(4,-3)\bigr)$

$(-1,2) \cdot \bigl( (-10,30)- (8,-6)\bigr)$

现在我们进行向量减法：

$(-1,2) \cdot (-10 -8,30-(-6))$

$(-1,2) \cdot (-18,36)$

最后，我们求解标量积：

$(-1)\cdot (-18) + 2 \cdot 36$

$18 + 72$

$\bm{90}$

练习6

计算值

$k$

使得以下向量互相垂直：

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-3) \qquad \vv{\text{v}} =(k,6)$

查看解决方案

两个垂直向量形成 90° 角。因此角度的余弦必须为零，因为 cos(90°)=0。然而：

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

分数的分母除以方程的整个右侧，因此我们可以通过在另一侧相乘来传递它：

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

我们现在求解标量积：

$\displaystyle 0 =(-2,-3) \cdot (k,6)$

$\displaystyle 0 =-2 \cdot k + (-3)\cdot 6$

$\displaystyle 0 =-2 k -18$

最后，我们澄清未知的事情：

$\displaystyle 2k =-18$

$\displaystyle k =\cfrac{-18}{2}$

$\displaystyle \bm{k =-9}$

练习7

计算角度

$\alpha , \beta$

和

$\gamma$

形成以下三角形的边：

查看解决方案

组成三角形的顶点是以下点：

$A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)$

要计算三角形的内角，我们可以计算其每条边的向量，然后使用点积公式找到它们形成的角度。

例如，求角度

$\alpha$

我们计算其边的向量：

$\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)$

我们使用点积公式求出两个向量形成的角度：

$\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

$\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74$

$\bm{\alpha = 42,27º}$

现在我们重复相同的过程来确定角度

$\beta:$

$\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)$

$\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20$

$\bm{\beta = 101,31º}$

最后，为了找到最后一个角度，我们可以重复相同的过程。然而，三角形中的所有角之和必须为 180 度，因此：

$\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}$

如何计算两个向量之间的点积

使用点积求两个向量之间的角度

两个向量点积的性质

解决了两个向量之间的标量积问题

练习1

练习2

练习3

练习4

练习5

练习6

练习7

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