经过两点的直线方程（公式）

10 7 月, 2023

在这里您将找到快速找到经过两点的直线方程的公式。此外，您将能够看到示例并练习由 2 点确定的直线方程的求解练习。

通过两点的直线方程的公式

典型的直线方程问题是计算由两个给定点确定的直线的方程。尽管有多种方法可以解决此类问题，但这里有一个公式，您可以使用它快速轻松地直接找到该直线的方程：

考虑位于一条直线上的两个点：

$P_1(x_1,y_1) \qquad \qquad P_2(x_2,y_2)$

从 2 个点求直线方程的公式为：

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

给定两个点的直线方程的公式是从直线的点斜率方程推导出来的：

$y-y_1= m (x-x_1)$

由于直线的斜率可以通过以下表达式计算：

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

事实证明，给定两点坐标的方程的公式为：

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

因此，要确定直线的方程，您只需要知道它经过的两个点即可。

给定两点如何求直线方程的示例

一旦我们了解了上面两点给出的直线方程的公式，现在让我们看看如何求解直线方程的典型练习：

通过以下两点的直线方程是什么？

$P_1 (3,1) \qquad \qquad P_2(-2,5)$

由于我们已经知道直线上的两个点，所以我们直接使用公式来计算其方程：

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

现在我们将点的坐标代入公式：

$y-1= \cfrac{5-1}{-2-3} (x-3)$

最后，我们计算直线的斜率：

$y-1= \cfrac{4}{-5} (x-3)$

因此，穿过这两点的直线方程为：

$\bm{y-1=-} \mathbf{\cfrac{4}{5}}\bm{ (x-3)}$

由于该陈述没有告诉我们其他情况，因此无需进一步简化直线方程，即使还剩下一个分数。

解决了过两点直线方程的问题

练习1

求通过以下两点的直线方程：

$P_1 (4,-1) \qquad \qquad P_2(5,2)$

查看解决方案

由于我们已经知道直线上的两个点，因此我们直接将直线方程的公式应用于两个给定点：

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

现在我们将这些点的笛卡尔坐标代入公式：

$y-(-1)= \cfrac{2-(-1)}{5-4} (x-4)$

最后，我们计算直线的斜率：

$y+1= \cfrac{3}{1} (x-4)$

$y+1= 3(x-4)$

因此，穿过这两点的直线方程为：

$\bm{y+1= 3(x-4)}$

练习2

求通过以下两点的直线方程：

$P_1 (-2,0) \qquad \qquad P_2(-3,1)$

查看解决方案

由于我们已经知道属于该直线的两个点，因此我们直接使用已知直线与 2 个点的方程的公式：

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

现在我们将点的坐标代入公式：

$y-0= \cfrac{1-0}{-3-(-2)} (x-(-2))$

最后，我们进行操作：

$y= \cfrac{1}{-1} (x+2)$

$y= -(x+2)$

$y= -x-2$

因此，穿过这两点的直线方程为：

$\bm{y= -x-2}$

练习3

不进行任何计算，确定位于以下直线上的点：

$y-2= 4(x+1)$

查看解决方案

直线上的一点可以从穿过 2 点的直线方程的公式推导出来：

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

该点的 Y 坐标将是变量之前的项

$y$

改变符号，该点的 X 坐标将是负括号内的数字：

$\bm{P(-1,2)}$

练习4

在由以下两点定义的线上找到第三个点：

$P_1 (4,1) \qquad \qquad P_2(2,-3)$

查看解决方案

我们首先必须用以下公式找到直线方程：

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

$y-1= \cfrac{-3-1}{2-4} (x-4)$

$y-1= \cfrac{-4}{-2} (x-4)$

$y-1= 2(x-4)$

一旦找到穿过两点的直线方程，我们就可以计算第三个点，为其中一个变量提供任意值。例如，我们将

$x=0:$

$y-1= 2(x-4) \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ y-1= 2(0-4)$

$y-1=2\cdot (-4)$

$y-1=-8$

$y=-8+1$

$y=-7$

所以属于该线的另一个点的坐标是：

$\bm{P(0,-7)}$

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