线性函数和仿射函数

17 9 月, 2023

在本文中，您将找到仿射函数和线性函数的解释，以及这两类函数之间存在的差异。此外，您还将看到如何绘制仿射函数和线性函数的图形以及如何从两点计算它们的表达式的示例。最后，您将能够通过逐步解决的几个练习进行训练。

什么是仿射函数和线性函数？

仿射函数和线性函数的定义如下：

仿射函数是一次多项式函数，也就是说，在图形上表示的函数是一条直线。相关函数如下：

$f(x)=mx+n$

金子

$m$

是直线的斜率，

$n$

这是 y 轴截距，即函数与垂直轴相交的位置。

在数学中，仿射函数在线性代数中也称为线性变换。

线性函数是没有独立项的仿射函数。因此，线性函数的公式为：

$f(x)=mx$

金子

$m$

是直线的斜率。

线性函数和仿射函数的定义域和值域（或值域）都是实数：

$\text{Dom } f=\mathbff{R}$

$\text{Im } f= \mathbb{R}$

线性函数和仿射函数有什么区别？

现在您已经了解了线性函数和仿射函数的概念，您会注意到它们彼此非常相似。然而，它们之间的以下区别非常重要：

线性函数和仿射函数之间的唯一区别在于，线性函数没有独立项，而仿射函数的截距系数 (n) 始终不为零 (0)。

线性函数

$f(x)=mx$

线性函数

$f(x)=mx+n$

这意味着线性函数总是通过坐标原点（0,0）。另一方面，仿射函数永远不会通过该点，因为它的截距不为 0。

线性函数和仿射函数有什么区别？

线性或仿射函数的斜率和 y 截距

在本节中，我们将分析仿射或线性函数的示例，以理解术语的含义

$m$

和

$n$

，或者换句话说，斜率和 y 截距。

确定图中所示函数的表达式，并将其分类为线性函数或仿射函数。

这些类型的函数遵循以下表达式：

$f(x)=mx+n$

表示斜率和 y 截距线性或仿射函数 m 和 n

$n$

这是 y 轴截距，即函数与垂直 Y 轴相交的位置。所以在这种情况下：

$n=4$

另一边，

$m$

是直线的斜率。 Y 可以通过将两点之间的y差值除以这两个点之间的x差值来计算：

$m=\cfrac{\Delta y }{\Delta x} = \cfrac{3}{2}$

$m$

表示“每个 x 增加多少 y” ，因此在本例中函数“每个 2x 增加 3y” 。

总之，图中表示的仿射函数的表达式为：

$\displaystyle \bm{f(x)=}\frac{\bm{3}}{\bm{2}}\bm{x+4}$

此外，由于 y 轴截距非零，因此它是仿射函数。

下面我们向您展示更多线性函数和仿射函数的示例，以帮助您加深理解：

线性和仿射函数的示例

正如您在这些示例中看到的，斜率越大，线越陡，因此函数越大。同样，斜率系数决定函数的增长或下降：

如果斜率为正，则函数递增，即随着x 的增大而增大。
如果斜率为负，则函数递减，即随着x 的增加而减小。

此外，您还可以通过两条线的斜率来判断它们是平行还是垂直：

当两条直线具有相同的斜率时，它们是平行的，即它们在任何点都不相交或完全相同。

$m_1 = m_2$

另一方面，两条线是垂直的，也就是说它们以垂直角 (90°) 相交，如果它们的斜率对应于以下关系：

$m_1 = -\cfrac{1}{m_2}$

仿射或线性函数的表示示例

让我们看看如何使用示例来绘制一次函数的图形。

绘制以下仿射函数的图形：

$f(x)=2x-1$

我们需要做的第一件事是创建一个值数组。为此，我们授予我们想要的值

$x$

获得的值

$f(x)$

:

$f(x)=2x-1$

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0) = 2\cdot0-1=-1$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1) = 2\cdot1-1=1$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2) = 2\cdot2-1=3$

$x= 3 \ \longrightarrow \ f(3) = 2\cdot3-1=5$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4) = 2\cdot4-1=7$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & -1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ 4 & 7 \end{array}$

虽然有两个点的值表就足够了，但我们可以做更多的点来确保它是正确的。

创建值表后，我们在图表上绘制点：

如何表示直线或线性函数或和仿射

最后，我们连接这些点并画一条线：

线性或仿射函数的图形表示

这样，我们就已经在图上表示了该函数。正如您所看到的，这并不复杂，您只需首先制作一个值表，然后将点绘制在图表上即可。

如何从两点计算线性或仿射函数

现在让我们通过一个例子来看看如何从两点找到线性或仿射函数：

计算满足的线性函数
$f(3)=5$

并回顾这一点

$(1,-1).$

首先，

$f(3)=5$

这意味着函数通过点

$(3,5)$

。

因此，由于我们有函数经过的两个点，因此我们可以计算斜率

$m$

功能：

考虑到两点，

$P_1=(x_1,y_1)$

和

$P_2=(x_2,y_2)$

, 坡度

$m$

计算函数的值：

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

在我们的例子中，函数通过点

$(3,5)$

和

$(1,-1)$

。所以坡度

$m$

该函数的值为：

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\cfrac{-1-5}{1-3} = \cfrac{-6}{-2} = 3$

因此，该函数的形式为：

$f(x) = mx+n \ \xrightarrow{m \ = \ 3} \ f(x)=3x+n$

一旦我们知道

$m$

我们可以解开这个谜团

$n$

。为此，我们将属于该函数的点的坐标代入方程中。例如点（3.5）：

$f(x) = 3x+n \ \xrightarrow{x \ = \ 3 \ ; \ f(x) \ = \ 5} \ 5=3\cdot 3+n$

我们求解所得方程：

$5=3\cdot 3+n$

$5= 9 + n$

$5-9=n$

$-4=n$

因此，线性函数为：

$\bm{f(x)=3x-4}$

解决了线性和仿射函数的练习

练习1

确定以下仿射函数的斜率和原点：

$f(x)=-5x-2$

查看解决方案

线性函数的形式为

$f(x)=mx+n .$

因此，函数的斜率是x附带的数字，在本例中为 -5：

$\bm{m=-5}$

y 轴截距是独立项，在本例中为 -2：

$\bm{n=-2}$

练习2

绘制以下仿射函数的图形：

$f(x)=x+1$

查看解决方案

我们首先赋予值

$x$

创建值表：

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)=0+1 = 1$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=1+1= 2$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)=2+1 = 3$

$x= 3 \ \longrightarrow \ f(3)=3+1 = 4$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4)=4+1 = 5$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ 4 & 5 \end{array}$

然后我们在图表上表示数值表中的点并绘制线条：

线性或仿射函数的示例

练习3

在图上绘制以下仿射函数：

$f(x)=-2x+6$

查看解决方案

我们首先赋予值

$x$

创建值表：

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)=-2\cdot0+6=6$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=-2\cdot1+6=4$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)=-2\cdot2+6=2$

$x= 3 \ \longrightarrow \ f(3)=-2\cdot3+6=0$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4)=-2\cdot4+6=-2$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 6 \\ 1 & 4 \\ 2 & 2 \\ 3 & 0 \\ 4 & -2 \end{array}$

最后，我们在图表上表示数值表中的点并绘制线条：

逐步解决线性和仿射函数的练习

练习4

求通过点 (2,3) 和 (0,1) 的仿射函数的表达式。

查看解决方案

该函数经过点 (2,3) 和 (0,1)，因此函数的斜率为：

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \cfrac{1-3}{0-2} = \cfrac{-2}{-2} = 1$

该函数的形式如下：

$f(x)=mx+n \ \xrightarrow{m \ = \ 1} \ f(x)=1x+n$

一旦我们知道m ，我们就可以计算n 。为此，我们需要将属于该函数的点的坐标代入方程中。例如点(2,3)：

$f(x)=x+n \ \xrightarrow{x \ = \ 2 \ ; \ f(x) \ = \ 3}$

$3=2+n$

我们现在必须求解所得方程：

$3-2=n$

$1 = n$

因此，该函数对应于以下表达式：

$\bm{f(x)=x+1}$

练习5

绘制以下仿射函数的图形：

$f(x)=2x-1$

查看解决方案

我们首先赋予值

$x$

创建值表：

$x= 0 \ \longrightarrow \ f(0)=2\cdot0-1=-1$

$x= 1 \ \longrightarrow \ f(1)=2\cdot1-1=1$

$x= 2 \ \longrightarrow \ f(2)=2\cdot2-1=3$

$x= 3 \ \longrightarrow \ f(3)=2\cdot3-1=5$

$x= 4 \ \longrightarrow \ f(4)=2\cdot4-1=7$

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & -1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ 4 & 7 \end{array}$

然后我们在图表上表示数值表中的点并绘制线条：

解决了绘制线性或仿射函数图形的练习

练习6

计算满足以下两个条件的线性函数：

$\begin{array}{c}f(3) =-2 \\[3ex] f(-1)=6 \end{array}$

查看解决方案

愿它成真

$f(3)=-2$

这意味着函数通过点(3,-2)。并且，以同样的方式，

$f(-1)=6$

这意味着函数通过点 (-1.6)。

所以函数经过点(3,-2)和(-1,6)，所以它的斜率是：

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \cfrac{6-(-2)}{-1-3} = \cfrac{8}{-4} = -2$

因此，该函数的形式为：

$f(x)=mx+n \ \xrightarrow{m \ = \ -2} \ f(x)=-2x+n$

一旦我们知道m ，我们就可以计算n 。为此，我们将属于该函数的点的坐标代入方程中。例如点(3,-2)：

$f(x)=-2x+n \ \xrightarrow{x \ = \ 3 \ ; \ f(x) \ = \ -2} \ -2=-2(3)+n$

我们求解所得方程：

$-2=-6+n$

$-2+6=n$

$4 = n$

因此该函数为：

$\bm{f(x)=-2x+4}$

练习7

找到它执行的仿射函数

$f(1) =6$

并经过点(3.5)。

查看解决方案

愿它成真

$f(1)=6$

这意味着函数通过点 (1,6)。

因此，该函数通过点 (1.6) 和 (3.5)，因此其斜率为：

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \cfrac{5-6}{3-1} = \cfrac{-1}{2} = -\cfrac{1}{2}$

因此，该函数的形式为：

$\displaystyle f(x)=mx+n \ \xrightarrow{m \ = \ -\frac{1}{2}} \ f(x)=-\frac{1}{2}x+n$

一旦我们知道了m项，我们就可以计算系数n 。为此，我们将属于该函数的点的坐标代入方程中。例如点(1,6)：

$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x+n \ \xrightarrow{x \ = \ 1 \ ; \ f(x) \ = \ 6} \ 6=-\frac{1}{2}\cdot 1+n$

我们求解所得方程：

$6=-\cfrac{1}{2}+n$

$6+\cfrac{1}{2}=n$

请记住，要添加分数，您必须首先将它们减少到公分母，然后添加分子：

$\cfrac{2 \cdot 6}{2} +\cfrac{1 \cdot 1}{2}=n$

$\cfrac{12}{2} +\cfrac{1}{2}=n$

$\cfrac{13}{2}=n$

因此该函数为：

$\displaystyle \bm{f(x)=-}\mathbf{\frac{1}{2}}\bm{x +}\mathbf{\frac{13}{2}}$

练习8

解决以下与线性和仿射函数相关的问题：

当价格为 15 欧元/件时，商店销售 40 件产品；当价格为 10 欧元/件时，商店销售 65 件。

计算产品的需求函数，假设它是仿射函数。
如果价格定为 12 欧元/件，将会售出多少件？

查看解决方案

由于它是仿射函数，因此该函数的类型为

$f(x)=mx+n .$

金子

$x$

是产品的单价，

$f(x)$

将是已售出的单位。

新闻稿告诉我们，当价格为 15 欧元/件时，已售出 40 件。因此，作为

$x$

是价格和

$f(x)$

销售单位时，必须遵守以下平等原则：

$f(15)=40$

当价格为 10 欧元/件时，已售出 65 件。因此，使用相同的推理：

$f(10)=65$

愿它成真

$f(15)=40$

这意味着函数通过点 (15.40)。和

$f(10)=65$

这意味着函数通过点 (10.65)。

因此函数的斜率是：

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \cfrac{65-40}{10-15} = \cfrac{25}{-5} = -5$

因此，该函数的形式为：

$f(x)=mx+n \ \xrightarrow{m \ = \ -5} \ f(x)=-5x+n$

一旦我们知道m ，我们就可以计算n 。为此，我们将属于该函数的点的坐标代入方程中。例如点（下午 3:40）：

$f(x)=-5x+n \ \xrightarrow{x \ = \ 15 \ ; \ f(x) \ = \ 40} \ 40=-5\cdot 15+n$

我们求解所得方程：

$40=-75+n$

$40+75=n$

$115 = n$

因此，将销售额与价格联系起来的函数是：

$\bm{f(x)=-5x+115}$

另一方面，在函数中

$x$

代表价格。因此，要知道如果价格为 12 欧元/单位，将售出多少单位，我们必须计算

$f(12):$

$f(x)=-5x+115 \ \xrightarrow{x \ = \ 12} \ f(12)=-5\cdot 12+115$

$f(12)=-60+115$

$f(12)=\bm{55}$

因此，如果价格为 12 欧元/单位，则将售出 55 单位。

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