线性和二次插值

在此页面上，您将了解插值函数的含义。具体地，解释线性插值和二次插值。此外，您将能够看到多个示例，因此您对函数的插值方式毫无疑问。

什么是函数插值？

插值的定义如下：

在数学中，插值是一种用于近似函数在端点已知的区间上的点处所取值的过程。

插值法和外推法有什么区别？

插值和外推具有非常相似的含义，因为两者都涉及从两个已知点估计函数在某一点的值。

然而，插值包括对位于这两个已知点形成的间隔中的点进行近似。相反，外推意味着估计函数在这两个已知点所在区间之外的点处的值。

正如您在上图中看到的，已知点是 (2,3) 和 (6,5)。在这种情况下，我们想要内插到 x=4，因为它位于已知点之间，另一方面，我们想要外推到 x=8，因为它在已知区间之外。

显然，内插值比外推值可靠得多，因为在外推中，我们假设函数将遵循类似的路径。然而，函数的斜率变化可能超出已知区间的范围，并且估计是错误的。

线性插值

线性插值是牛顿多项式插值的特例。在这种情况下，使用一次多项式，即线性或仿射函数，来猜测函数在某一点的值。

给定两个已知点，

$P_1(x_1,y_1)$

和

$P_2(x_2,y_2)$

，执行线性插值的公式为：

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

金子

$x$

和

$y$

是插值点的坐标。

我们可以验证这个公式对应的是直线的点斜率方程。

线性插值示例

接下来我们以一个问题为例来完成对线性插值概念的理解：

在一家工厂，4 小时生产 2 件产品，8 小时生产 10 件产品。如果生产的产品数量与工作时间呈线性关系，那么 5 小时内将生产多少产品？

首先，我们需要定义将工作时间与生产的产品联系起来的线性函数。在这种情况下，X 是工作时间，Y 是制造的物品。因为根据工作时间，生产的产品数量会增加或减少，或者换句话说，生产取决于工作时间，而不是相反。

从语句中我们知道函数经过点(4,2)和(8,10)。因此，应用公式在该点进行插值就足够了

$x=5:$

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

我们将点的值代入方程：

$y=\cfrac{10-2}{8-4}\cdot(5-4) + 2$

我们进行以下操作：

$y=\cfrac{8}{4}\cdot1 + 2 = 2\cdot 1 +2 = 4$

$\bm{y=4}$

所以 5 小时将生产4 件物品。

二次插值

二次插值涉及使用二次多项式而不是一次多项式进行插值。因此，在这种情况下，使用二次或抛物线函数。

$y = ax^2+bx+c$

一般来说，二阶插值比一阶插值更准确，因为二阶插值的次数更高。相反，还需要一个点才能执行插值。

数学家拉格朗日提出了一个求 n 阶插值函数的公式。对于二阶情况，拉格朗日插值多项式如下：

$y=\cfrac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x-x_2)}\cdot y_0+ \cfrac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_0-x_2)}\cdot y_1+ \cfrac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\cdot y_2$

已知点在哪里

$P_1(x_1,y_1)$

$P_2(x_2,y_2)$

和

$P_3(x_3,y_3)$

它们用于求函数在横坐标上的值

$x.$

但实际中一般不采用拉格朗日插值法，而是根据3个观测点计算二次函数，然后对函数中要插值的点进行求值。这是一个已解决的练习，看看它是如何完成的：

二次插值示例

确定通过点 (0,1)、(1,0) 和 (3,4) 的二次函数，然后插值
$x=-1.$

由于二次函数是二阶多项式，因此插值函数如下：

$y = ax^2+bx+c$

因此需要计算系数

$a$

$b$

和

$c$

。为此，我们将已知点的坐标代入函数中：

$\left.\begin{array}{l} 1 = a\cdot 0^2+b\cdot 0+c \\[2ex] 0 = a\cdot 1^2+b\cdot 1+c \\[2ex] 4 = a\cdot 3^2+b\cdot 3+c \end{array} \right\} \longrightarrow \left.\begin{array}{l} 1 = c \\[2ex] 0 = a+b+c \\[2ex] 4 = 9a+3b+c \end{array} \right\}$

现在我们求解方程组：

$\left.\begin{array}{l} 1 = c \\[2ex] 0 = a+b+c \\[2ex] 4 = 9a+3b+c \end{array} \right\} \begin{array}{l} \\[2ex] \xrightarrow{c \ = \ 1} \\[2ex] & \end{array} \left.\begin{array}{l} c=1 \\[2ex] 0 = a+b+1 \\[2ex] 4 = 9a+3b+1 \end{array}\right\}$

我们已经知道的价值

$c$

，因此我们可以用替换法来求解系统：我们擦除未知数

$a$

将第二个方程代入最后一个方程中找到的表达式：

$\left.\begin{array}{l} a=-b-1 \\[2ex] 4 = 9a+3b+1 \end{array}\right\}\longrightarrow \left.\begin{array}{l} a=-b-1 \\[2ex] 4 = 9(-b-1)+3b+1 \end{array}\right\}$