空间中一点到平面的距离（公式）

在此页面上，您将了解如何计算空间中的点和平面之间的距离（公式）。此外，您将能够看到示例并通过逐步解决的练习进行练习。

一点到平面的距离是多少？

在解析几何中，点到平面的距离是该点与平面上任何其他点之间的最短距离。该距离对应于从点到平面的垂直于平面的线段的长度。

点到平面的距离公式

一旦我们准确地了解了点和平面之间的距离的概念，现在让我们看看计算所述距离的公式：

点到平面距离公式的证明相当繁琐且冗长，因此我们不会在本页上进行证明。

另一方面，如果应用该公式时我们得到的结果等于零，这显然意味着该点和平面之间的距离为零，因此该点是该平面的一部分。

最后，请注意，要应用该公式，必须将计划定义为一般（或隐式）方程。所以如果用其他类型的平面方程来表达，我们首先要把它转化为一般方程，然后再使用公式。

计算点到平面距离的示例

为了让您了解点与平面之间的距离是如何用数值确定的，我们将求解下面的示例：

• 计算点 P 与平面 π 之间的距离。说了要点和计划：

要找到从点到平面的距离，只需应用上一节中的公式即可：

现在我们将每个未知数的值代入公式：

最后，我们进行操作：

请注意，分数的分子有绝对值，分母有平方根，因此结果必须始终为正。这是有道理的，因为距离不能为负，而始终为正。

计算两个平行平面之间的距离

两个平行平面的距离总是相同，因此，要找到两个平行平面之间的距离，我们可以在两个平面之一上取一点，然后计算从该点到另一个平面的距离。

它是一种求两个平行平面之间距离的方法。然而，当两个平面方程的系数 A、B 和 C 重合时，还有一种更简单的方法：

考虑两个平行平面的一般（或隐式）方程：

两个平行平面之间距离的计算公式为：

因此，使用公式肯定更容易找到两个平行平面之间的距离，因为这只是应用公式的问题，仅此而已，但这取决于问题。此外，我们认为最好解释两种计算距离的方法，以便您可以选择您喜欢的一种。

计算两个平行平面之间的距离的示例

作为示例，我们将计算以下两个平面之间的距离：

我们必须首先验证我们正在处理两个平行平面。因此，除了独立项之外，平面方程的所有系数都是成比例的，因此它们实际上是两个平行平面。

在这种情况下，两个平面方程的 A、B 和 C 项并不重合，但我们可以通过将第二个平面的整个方程除以 2 来实现这一点：

所以，两个平面的方程已经具有相同的系数A、B和C。因此，我们可以通过两个平行平面之间的距离公式轻松计算出两个平面之间的距离：

我们代入数值并求解运算：

使得一个平面和另一个平面之间的距离等于一。

解决点到平面的距离问题

练习1

计算点 P 与笛卡尔（或一般）方程为的平面之间的距离：

要计算点到平面的距离，必须使用相应的公式：

我们将各个参数的值代入公式：

最后，我们进行操作：

练习2

求点 P 与平面 π 之间的距离：

在使用点到平面的距离公式之前，我们首先必须将平面表达为隐式（或一般）方程的形式：

现在我们可以使用公式来确定点到平面的距离：

我们将每一项的值代入公式：

最后，我们执行以下操作：

练习3

使用点与平面之间的距离公式来确定点 P 是否位于平面 π 内。

为了检查该点是否属于平面，我们可以计算两者之间的距离：如果距离为零，则意味着该点确实属于平面，反之，如果距离不等于 0，则意味着该点属于该平面。点在平面外。计划。

因此，我们根据以下公式确定点与平面之间的距离：

点和平面之间的距离等于零，因此实际上该点属于平面。

练习4

求以下两个平面之间的距离：

我们必须首先验证我们正在处理两个平行平面。两个平面方程的所有系数除独立项外均成比例，因此这确实是两个平行平面。

在这种情况下，我们将使用以下公式计算两个平面之间的距离，因为它们的系数 A、B 和 C 相等：

因此，我们将这些值代入公式并执行运算：

练习5

求下列两个平行平面之间的距离：

前景平面以参数方程的形式定义，因此要应用两个平行平面之间的距离公式，我们必须首先将其转换为一般方程的形式，这需要大量的计算和时间。因此，如果我们在该平面上取一个点并计算从该点到另一个平面的距离，速度会更快。

因此，平面 π ₁通过的点的坐标对应于每个参数方程的独立项：

现在我们应用公式来计算该点与另一个平面之间的距离：

因此，两个平行平面之间的距离为：