基于参数的数组范围 -

在此页面上，您将了解如何根据参数计算表的排名。您还将找到关于如何根据一个参数查找矩阵范围的分步示例和已解决的练习。

为了充分理解研究带参数矩阵的秩的过程，重要的是您已经知道如何通过行列式计算矩阵的秩。因此，我们建议您在继续阅读之前先了解这两件事。

如何根据参数计算数组的范围。例子：

根据不同的参数值确定矩阵A的范围
$\displaystyle a :$

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} a+1 & -1 & a+1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & a \end{pmatrix}$

矩阵 A 最多为 3 阶，因为它是 3 阶矩阵。因此，我们首先要做的就是用Sarrus 法则求解整个 3×3 矩阵的行列式，看能否达到 3 阶：

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} a+1 & -1 & a+1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & a \end{vmatrix} & =-a(a+1)+0+0+a+1-0-0 \\ & =-a^2-a+a+1 \\[1.5ex] & =-a^2+1 \end{aligned}$

行列式的结果是参数的函数

$\displaystyle a$

。因此，我们将结果设置为 0，以查看表何时为 2 级以及何时为 3 级：

$\displaystyle -a^2+1 = 0$

我们求解所得方程：

$\displaystyle a^2 = 1$

$\displaystyle \sqrt{a^2} = \sqrt{1}$

$\displaystyle \bm{a = \pm 1}$

因此，当

$\displaystyle a$

无论是+1还是-1，3×3行列式都将为0，因此矩阵的秩不会为3。另一方面，当

$\displaystyle a$

与 +1 和 -1 不同，行列式将不同于 0，因此矩阵的秩为 3。

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq +1,-1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

现在让我们看看当

$\displaystyle \bm{a=+1} :$

$\displaystyle a = +1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

正如我们之前看到的，当

$\displaystyle a$

为 1 时，矩阵的行列式为 0。因此它的秩不能为 3。现在我们尝试计算矩阵内部与 0 不同的 2×2 行列式，例如左上角的行列式：

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -1 \end{vmatrix} =-2-0= -2 \neq 0$

2 阶行列式不等于 0。因此，当参数

$\displaystyle a$

或 +1，矩阵的秩将为 2：

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = +1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

一旦我们看到矩阵的范围

$\displaystyle a \neq +1,-1$

什么时候

$\displaystyle a=+1$

让我们看看当

$\displaystyle \bm{a = -1} :$

$\displaystyle a = -1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

正如我们一开始所看到的，当

$\displaystyle a$

es -1 并且矩阵的行列式为0。因此，不能将其设置为秩3。因此，我们应该尝试在矩阵中遇到不同于0的2×2的行列式，例如下矩阵的一部分。左边：

$\displaystyle \begin{vmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & -2 \end{vmatrix} = 0-(-1)= 1\neq 0$

维度 2 的行列式不同于 0。因此，当参数

$\displaystyle a$

或 -1，表的等级将为 2：

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

因此，我们发现了 3 种不同的情况，其中矩阵 A 的秩取决于参数取的值

$\displaystyle a.$

总结如下：

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq +1,-1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = +1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\ & \end{array} }$

现在您已经知道如何讨论参数相关矩阵的范围，您可以练习下面的分步练习。要解决这些问题，限定词的属性肯定会对您有所帮助，因此，如果您对它们不是很清楚，我建议您首先看一下链接的页面，其中每个属性都通过示例进行了解释。

修复了基于参数的矩阵范围问题

练习1

根据参数值研究下表范围

$\displaystyle a :$

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & a \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

查看解决方案

矩阵 A 最多具有 3 阶，因为它是一个 3×3 矩阵。因此，我们首先要做的是求解整个矩阵的行列式（使用萨鲁斯规则），看看它是否可以达到3阶：

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 1 & a \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} =0-8+2a-4a+12-0 =-2a+4$

我们将结果设置为 0 来查看数组何时为 2 级以及何时为 3 级：

$\displaystyle -2a+4=0$

$\displaystyle -2a=-4$

$\displaystyle a=\cfrac{-4}{-2} = 2$

因此，当

$\displaystyle a$

与 2 不同，行列式 3×3 将与 0 不同，因此矩阵的秩将为 3。

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq 2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

现在让我们看看当

$\displaystyle a=2 :$

$\displaystyle a = 2 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}= 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 2 & 2 \end{vmatrix} = 6-2 = 4 \neq 0$

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = 2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

因此，我们发现了两种情况，其中矩阵 A 的范围随参数取值的变化而变化：

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq 2 \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = 2\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\ & \end{array} }$

练习2

根据参数值查找下表的范围

$\displaystyle a :$

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] a & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & a \end{pmatrix}$

查看解决方案

矩阵 A 最多具有 3 阶，因为它是一个 3×3 矩阵。因此，我们首先要做的是求解整个矩阵的行列式（使用萨鲁斯规则），看看它是否可以达到3阶：

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] a & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & a \end{vmatrix} & =2a-12-2a+2+12-2a^2 \\ &=2-2a^2\end{aligned}$

我们将结果设置为 0 来查看数组何时为 2 级以及何时为 3 级：

$\displaystyle 2-2a^2=0$

$\displaystyle -2a^2=-2$

$\displaystyle a^2=\cfrac{-2}{-2}$

$\displaystyle a^2=1$

$\displaystyle a=\pm 1$

因此，当

$\displaystyle a$

与 +1 和 -1 不同，3×3 行列式将不同于 0，因此矩阵的秩将为 3。

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq +1, -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

现在让我们看看当

$\displaystyle a=+1 :$

$\displaystyle a = +1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & 1 \end{vmatrix}= 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 1 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{vmatrix} = 6-1 = 5 \neq 0$

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = +1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

现在让我们看看当

$\displaystyle a=-1 :$

$\displaystyle a = -1 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & 1 & 3 \\[1.1ex] -2 & -2 & -1 \end{vmatrix}= 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 1 \end{vmatrix} =2-(-2) = 4 \neq 0$

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -1 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

因此，我们发现了 3 种情况，其中矩阵 A 的范围根据参数取值而变化：

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq +1,-1 \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = +1\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -1\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\ & \end{array} }$

练习3

根据参数值计算下表的范围

$\displaystyle a :$

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} a+1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & a-3 \end{pmatrix}$

查看解决方案

矩阵 A 最多具有 3 阶，因为它是一个 3×3 矩阵。因此，我们首先要做的是求解整个矩阵的行列式（使用萨鲁斯规则），看看它是否可以达到3阶：

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} a+1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & a-3 \end{vmatrix} & =(a+1)(a-3) +2+0-5+6(a+1)-0 \\ & = a^2-3a+a-3 +2-5+6a+6 \\[1.5ex] & =a^2+4a\end{aligned}$

我们将结果设置为 0 来查看数组何时为 2 级以及何时为 3 级：

$\displaystyle a^2+4a=0$

这是一个不完全二次方程，所以我们提取一个公因子：

$\displaystyle a(a+4)=0$

我们将每一项设置为 0：

$\displaystyle a(a+4)=0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{a = 0} \\[2ex] a+4=0 \ \longrightarrow \ \bm{a=-4}\end{cases}$

我们得到 0 和 -4 作为解。因此，当

$\displaystyle a$

不同于 0 和 -4，3×3 行列式将不同于 0，因此矩阵的秩将为 3。

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq 0, -4 \ \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

现在让我们看看当

$\displaystyle a=0 :$

$\displaystyle a = 0 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -3 \end{vmatrix}= 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 1 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{vmatrix} = 1-0 = 1 \neq 0$

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = 0 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

现在让我们看看当

$\displaystyle a=-4 :$

$\displaystyle a = -4 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} -3 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -7 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -3 & 1 & -5 \\[1.1ex] 0 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 3 & -7 \end{vmatrix}= 0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} -3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 1\end{vmatrix} =-3-0 = -3 \neq 0$

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -4 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

因此，我们发现了 3 种情况，其中矩阵 A 的范围根据参数取值而变化：

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq 0,-4 \longrightarrow \ Rg(A)=3} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = 0\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -4\ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \\ & \end{array} }$

练习4

根据参数的值求以下3×4维矩阵的范围

$\displaystyle a :$

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} -1&-3&-2&1\\[1.1ex] 4&12&8&-4\\[1.1ex] 2&6&4&a \end{pmatrix}$

查看解决方案

矩阵 A 最多为 3 阶，因为我们无法计算任何4×4 行列式。因此，我们要做的第一件事是求解所有可能的 3 阶行列式（使用 Sarrus 规则），看看它是否可以是 3 阶：

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -1&-3&-2\\[1.1ex] 4&12&8\\[1.1ex] 2&6&4 \end{vmatrix} & =-48-48-48+48+48+48 =\bm{0}\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -1&-3&1\\[1.1ex] 4&12&-4\\[1.1ex] 2&6&a \end{vmatrix} & =-12a+24+24-24-24+12a=\bm{0}\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -1&-2&1\\[1.1ex] 4&8&-4\\[1.1ex] 2&4&a \end{vmatrix} & =-8a+16+16-16-16+8a=\bm{0}\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} -3&-2&1\\[1.1ex] 12&8&-4\\[1.1ex] 6&4&a \end{vmatrix} & =-24a+48+48-48-48+24a=\bm{0}\end{aligned}$

无论 3 阶行列式的值是多少，所有可能的行列式的结果都是 0

$\displaystyle a$

。因此矩阵永远不会是 3 阶，因为它取什么值并不重要

$\displaystyle a$

除了 0 之外，永远不会存在 3×3 行列式。

所以现在我们尝试 2 × 2 维的行列式。但是，除了以下各项之外，所有 2 阶行列式也都给出 0：

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix} 8&-4\\[1.1ex] 4&a \end{vmatrix} & =8a+16 \end{aligned}$

现在我们将结果设置为 0 并求解方程：

$\displaystyle 8a+16=0$

$\displaystyle 8a=-16$

$\displaystyle a=\cfrac{-16}{8} =-2$

因此，当

$\displaystyle a$

与 -2 不同，行列式 2×2 将不同于 0，因此矩阵的秩将为 2。

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black}\phantom{33} \bm{a \neq -2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

现在让我们看看当

$\displaystyle a=-2 :$

$\displaystyle a = -2 \longrightarrow A= \begin{pmatrix} -1&-3&-2&1\\[1.1ex] 4&12&8&-4\\[1.1ex] 2&6&4&-2 \end{pmatrix}$

正如我们之前看到的，当

$\displaystyle a$

为 -2，则所有 2 阶行列式均为 0。因此它不能为 2 阶。并且由于至少存在一个不同于 0 的 1×1 行列式，因此在这种情况下矩阵的秩为 1：

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\[-2ex] \color{black} \phantom{33} \bm{a = -2 \ \longrightarrow \ Rg(A)=1} \phantom{33} \\[-2ex] & \end{array} }$

因此，我们发现了两种情况，其中矩阵 A 的范围随参数取值的变化而变化：

$\displaystyle \color{blue} \boxed{ \begin{array}{c} \\ \color{black} \phantom{33} \bm{a \neq -2 \longrightarrow \ Rg(A)=2} \phantom{33} \\[3ex] \color{black} \bm{a = -2\ \longrightarrow \ Rg(A)=1} \\ & \end{array} }$

如何根据参数计算数组的范围。例子：

修复了基于参数的矩阵范围问题

练习1

练习2

练习3

练习4

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