通过行列式计算矩阵的秩

在此页面上，您将了解它是什么以及如何通过行列式计算矩阵的范围。此外，您还将找到示例和已解决的练习，以学习如何轻松找到矩阵的范围。此外，您还将看到矩阵的范围属性。

矩阵的秩是多少？

矩阵的值域定义为：

矩阵的秩是行列式不为0的最大方子矩阵的阶。

在本页中，我们将通过行列式方法了解矩阵的范围，但是矩阵的范围也可以通过高斯方法确定，尽管它更慢且更复杂。

一旦我们知道矩阵的范围是什么，我们就会看到如何通过行列式找到矩阵的范围。但请记住，要求解矩阵的范围，您首先需要知道如何计算3×3 行列式。

如何知道矩阵的范围？例子：

计算以下维度为 3×4 的矩阵的范围：

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{array} \right)$

我们总是首先尝试通过求解阶的最大行列式来查看矩阵是否具有最大秩。并且，如果该阶的行列式等于 0，我们将继续测试较低阶的行列式，直到找到除 0 之外的其他行列式。

在本例中，它是一个维度为 3×4 的矩阵。因此，它最多为 3 阶，因为我们无法确定 4 阶的任何行列式。因此，我们采用任何 3×3 子矩阵，看看它的行列式是否为 0。例如，我们用以下公式求解前 3 列的行列式：萨鲁斯规则：

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & 2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 \end{vmatrix} = 14 + 9 + 0 - 24 + 1 - 0 = \bm{0}$

第 1、2 和 3 列的行列式是 0。我们现在必须尝试另一个行列式，例如第 1、2 和 4 列的行列式：

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & 4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}& & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 & 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 4 -9 + 0 + 6-1 - 0 = \bm{0}$

它还给了我们 0。因此，我们继续测试 3 阶的行列式，看看是否存在除 0 之外的其他行列式。我们现在测试由第 1、3 和 4 列形成的行列式：

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 2 -12+0 +3 +7- 0 = \bm{0}$

在 3 阶行列式中，只需尝试由第 2、3 和 4 列组成的行列式：

$\left( \begin{tabular}{cccc}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] -1 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 6+4-14-1+21-16 = \bm{0}$

我们已经尝试了矩阵 A 的所有可能的 3×3 行列式，并且由于这些行列式都不与 0 不同，因此该矩阵不是 3 阶的。因此，最多只能是排名2。

$\displaystyle rg(A) < 3$

现在我们将看看该矩阵是否为 2 阶。为此，我们必须找到一个行列式不为 0 的 2 阶方子矩阵。我们将尝试左上角的 2×2 子矩阵：

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & 4 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & -1 & & & \\[-2ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 0 & 2 \end{vmatrix} = 2-0 = 2 \bm{ \neq 0}$

我们在矩阵中发现了一个不同于 0 的 2 阶行列式。因此，矩阵的秩为 2：

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

已解决的矩阵范围问题

练习1

确定以下 2×2 矩阵的秩：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix}$

查看解决方案

我们首先计算整个矩阵的行列式：

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{vmatrix} = 18-5 = 13 \bm{\neq 0}$

我们发现了一个不同于0的2阶行列式。因此，该矩阵的秩为2。

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

练习2

求以下维度为 2 × 2 的矩阵的范围：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{pmatrix}$

查看解决方案

首先，我们求解整个矩阵的行列式：

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{vmatrix} = 12-12 \bm{=0}$

唯一可能的 2×2 行列式给出 0，因此该矩阵不是 2 阶的。

但矩阵内部还有 0 以外的 1×1 行列式，例如：

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 2 \bm{\neq 0}$

因此该矩阵的秩为 1。

$\displaystyle \bm{rg(A)=1}$

练习3

下面的 3×3 方阵的范围是多少？

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

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首先用Sarrus规则计算整个矩阵的行列式：

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 2-12+16-2-16+12 \bm{=0}$

唯一可能的 3×3 行列式给出 0，因此该矩阵不是 3 阶的。

但矩阵内还有除 0 之外的 2 阶行列式，例如：

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 +6 = 7 \bm{\neq 0}$

因此，该矩阵的秩为 2 。

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

练习4

计算以下 3 阶矩阵的秩：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}$

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首先用Sarrus规则求解整个矩阵的行列式：

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{vmatrix} = -12-6+20+4-45+8 = -31\bm{ \neq0}$

整个矩阵的行列式的计算结果不是 0。因此，该矩阵具有最大秩，即秩 3。

$\displaystyle \bm{rg(A)=3}$

练习5

以下 3 阶矩阵的秩是多少？

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{pmatrix}$

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首先用Sarrus规则计算整个矩阵的行列式：

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{vmatrix} =20-100-9-10+24+75 \bm{= 0}$

唯一可能的 3×3 行列式给出 0，因此该矩阵不是 3 阶的。

但矩阵内部除了 0 之外还有 2 × 2 个行列式，如：

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 5 \\[1.1ex] 3 & -2 \end{vmatrix} = -4-15 = -19\bm{\neq 0}$

因此该矩阵的秩为 2 。

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

练习6

求以下 3×4 矩阵的范围：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 & 3 \end{pmatrix}$

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该矩阵不能为 4 阶，因为我们无法生成 4×4 行列式。那么我们通过计算 3×3 行列式来看看它是否是 3 阶的：

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}3 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 \end{vmatrix} =42-30+0-40-0+28 \bm{= 0}$

前 3 列的行列式给出 0。但是，后 3 列的行列式给出 0 以外的值：

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 0 & -7 & 3 \end{vmatrix} = -18+0+14-0+70-24 = 42 \bm{\neq 0}$

因此，由于内部有一个行列式不为0的3阶子矩阵，因此该矩阵的秩为3 。

$\displaystyle \bm{rg(A)=3}$

练习7

计算以下 4×3 矩阵的范围：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{pmatrix}$

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该矩阵不能为 4 阶，因为我们无法解析任何 4×4 行列式。因此，让我们通过执行所有可能的 3×3 行列式来看看它是否为 3 阶：

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}$

由于所有可能的 3×3 行列式都为 0，因此该矩阵也不是 3 阶的。我们现在尝试 2×2 行列式：

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} =13 \bm{\neq 0}$

由于矩阵 A 内存在一个行列式不为 0 的 2 阶子矩阵，因此该矩阵的秩为 2 。

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

练习8

求以下 4 × 4 矩阵的范围：

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4\end{pmatrix}$

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我们必须求解整个矩阵的行列式，看看它是否是 4 阶的。

为了求解 4×4 行列式，您必须首先对行进行运算，将列中除一个元素之外的所有元素转换为零：

$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 + 2f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 3f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}$

我们现在计算代表的行列式：

$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} \displaystyle = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$